Памятка: логарифмические уравнения

Что такое логарифмическое уравнение

Логарифмические уравнения часто пугают несложными, но непривычными обозначениями. На самом деле их решение сводится к понятному алгоритму: определить допустимые значения, применить свойство логарифма и обязательно проверить ответ. Эта памятка поможет не теряться на экзамене и разбирать такие задания спокойно, шаг за шагом.

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b:

\( \log ₐ b = x \Leftrightarrow aˣ = b \)
a > 0, a ≠ 1, b > 0

Логарифмическое уравнение содержит неизвестную под знаком логарифма, в его основании или одновременно в обоих местах. Например: log₂(x − 1) = 3. Здесь нужно найти такое x, при котором выражение под логарифмом положительно и равенство выполняется.

Если хочешь сразу потренироваться на похожих примерах, можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решать задания в удобном темпе.

ОДЗ и основные свойства

Первый шаг почти любого решения — записать область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а основание — положительным и не равным единице. Эти ограничения нельзя добавлять после решения: они помогают отсеять посторонние корни.

\( \log ₐ f(x): f(x) > 0 \)
a > 0, a ≠ 1

Главное свойство для перехода к равенству аргументов:

logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇔ f(x) = g(x), если f(x) > 0 и g(x) > 0

Также полезны формулы:

\( \log ₐ 1 = 0 \)
\( \log ₐ a = 1 \)
\( \log ₐ (u \cdot v) = \log ₐ u + \log ₐ v \)
\( \log ₐ (u \div v) = \log ₐ u - \log ₐ v \)

Не забывай: logₐ(u + v) нельзя превращать в сумму логарифмов. Если в выражении есть сумма, сначала ищи другой способ преобразования.

Алгоритм решения

Действуй по одной схеме. Сначала выпиши ограничения для всех логарифмов. Затем упрости выражение: вынеси степень из аргумента, объедини логарифмы или приведи их к одному основанию. После этого выбери подходящий переход.

Вид уравнения	Что сделать
logₐ f(x) = b	Перейти к f(x) = aᵇ
logₐ f(x) = logₐ g(x)	Приравнять аргументы
logₐ f(x) = logᵦ f(x)	Рассмотреть ОДЗ и свойства оснований
logₐ²x + p logₐx + q = 0	Ввести t = logₐx

В последнем случае получится обычное квадратное уравнение относительно t. После его решения вернись к замене: logₐ x = t. Помни, что x всегда положительно, поэтому отрицательные и нулевые значения нужно исключить.

Для перехода к новому основанию используй:

\( \log ₐ b = \log 𝚌 b \div \log 𝚌 a \)

Если нужна дополнительная тренировка по школьной математике, зарегистрируйся в личном кабинете и выбери задания по логарифмам.

Разобранный пример

Решим уравнение, где логарифмы имеют одинаковое основание:

\( log_2(x + 1) + log_2(x - 1) = 3 \)

Сначала запишем ОДЗ: x + 1 > 0 и x − 1 > 0. Объединяем условия и получаем x > 1. Теперь применяем формулу суммы логарифмов:

\( log_2((x + 1) \cdot (x - 1)) = 3 \)
\( log_2(x^2 - 1) = 3 \)

Переходим от логарифмической записи к показательной:

\( x^2 - 1 = 2^3 \)
\( x^2 - 1 = 8 \)
\( x^2 = 9 \)
x = 3 или x = −3

Проверяем корни по ОДЗ. Число −3 не подходит, потому что x должно быть больше 1. Число 3 подходит. Проверка в исходном уравнении подтверждает ответ:

\( log_24 + log_22 = 2 + 1 = 3 \)
Ответ: x = 3

Типичные ошибки и проверка

Самая частая ошибка — пропустить ОДЗ. Например, после возведения в квадрат могут появиться два корня, но аргумент логарифма обязан оставаться положительным. Поэтому финальная проверка обязательна, даже если преобразования кажутся очевидными.

Вторая проблема — неверное применение свойств. Нельзя раскрывать логарифм суммы и нельзя сокращать логарифмы как обычные множители. Осторожнее и с основанием: выражение logₐb имеет смысл только при a > 0 и a ≠ 1.

Третья ошибка — потеря решений при замене t = logₐx. После нахождения t нужно решить новое логарифмическое равенство, а не записывать t как окончательный ответ. Например, если t = 2⅓, то x = a²⅓, а не x = 2⅓.

Перед записью ответа задай себе три вопроса: выполнено ли ОДЗ, не появились ли посторонние корни, подставлял ли я найденное значение в исходное уравнение?

Что запомнить

Логарифмическое уравнение решается не угадыванием, а последовательностью действий. Сначала найди ОДЗ. Затем используй свойства логарифмов, приведи выражения к удобному виду и выбери переход к степени или равенству аргументов.

\( \log ₐ b = x \Leftrightarrow aˣ = b \)
\( \log ₐ f(x) = \log ₐ g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) \)
Аргумент логарифма всегда больше нуля

Если встречается квадрат логарифма, введи новую переменную. Если появляются дроби или корни, сохраняй ограничения на каждом шаге. В конце проверь каждый найденный корень по ОДЗ и исходному условию.

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После этого можно перейти к подборкам для ОГЭ или ЕГЭ, если готовишься к экзамену.