Просто УрокПамятка: НОД и НОК
Пять минут на эту статью — и «Памятка: НОД и НОК» станет понятнее. Внутри: теория без воды, пример, разбор и чек-лист самопроверки.
Что такое НОД и НОК
Если в задаче встречаются слова «наибольший общий делитель» или «наименьшее общее кратное», легко растеряться среди множителей и делений. Эта памятка поможет быстро понять, что искать, выбрать удобный способ решения и проверить себя без лишней путаницы.
НОД — наибольший общий делитель нескольких чисел. Это самое большое число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка. Например, делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12, а делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Общие делители — 1, 2, 3 и 6, значит, НОД(12; 18) = 6.
НОК — наименьшее общее кратное. Это самое маленькое положительное число, которое делится на каждое из данных чисел. Для 4 и 6 общие кратные начинаются с 12, поэтому НОК(4; 6) = 12.
Запомни смысл: НОД связан с делителями и удобно помогает делить на равные группы, а НОК связан с кратными и помогает найти общий момент повторения.
Как найти НОД
Есть несколько способов. Первый — выписать делители каждого числа и выбрать самый большой общий. Он подходит для небольших чисел и полезен на этапе знакомства с темой.
Второй способ — разложить числа на простые множители. Для НОД берём только общие простые множители, причём каждый — в наименьшей степени. Если множитель встречается в одном разложении два раза, а в другом один раз, берём его один раз.
Третий способ — алгоритм Евклида. Большое число делим на меньшее, затем меньшее делим на остаток. Повторяем, пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и есть НОД.
НОД(84; 30):
\( 84 = 30 \times 2 + 24 \)
\( 30 = 24 \times 1 + 6 \)
\( 24 = 6 \times 4 \)
НОД(84; 30) = 6
Для двух взаимно простых чисел НОД равен 1. Например, НОД(8; 15) = 1: общих простых множителей у чисел нет.
После решения можно проверить результат: найденный НОД должен делить каждое исходное число, а большего общего делителя существовать не должно.
Как найти НОК
Чтобы найти НОК перебором, выписывают кратные одного числа, пока среди них не появится кратное второго. Но для больших чисел этот путь становится длинным.
Надёжнее использовать разложение на простые множители. Для НОК берём все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном разложении, и выбираем для каждого наибольшую степень. Затем перемножаем полученные множители.
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
\( 18 = 2 \times 3^2 \)
НОК(12; 18) = 2² × 3² = 36
Есть важная связь между НОД и НОК:
НОД(a; b) × НОК(a; b) = a × b
Её удобно применять для проверки или когда один из двух показателей уже найден. Например, если НОД(12; 18) = 6, то НОК(12; 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36.
Не путай НОК с произведением чисел: произведение всегда кратно обоим числам, но оно не обязано быть наименьшим.
Разобранный пример
Разберём задачу полностью: найти НОД и НОК чисел 72 и 90. Сначала раскладываем оба числа на простые множители, чтобы не пропустить общие элементы и правильно выбрать степени.
\( 72 = 2^3 \times 3^2 \)
\( 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \)
Для НОД берём общие множители в меньших степенях:
НОД(72; 90) = 2 × 3² = 18
Для НОК берём все множители в больших степенях:
НОК(72; 90) = 2³ × 3² × 5 = 360
Проверка: 18 × 360 = 6480 и 72 × 90 = 6480
Теперь представим практический смысл. Если 72 карандаша и 90 тетрадей нужно разложить в одинаковые наборы без остатка, максимальное число наборов равно НОД, то есть 18. В каждом наборе будет 72 ÷ 18 = 4 карандаша и 90 ÷ 18 = 5 тетрадей.
Если же два события повторяются каждые 72 и 90 минут, они совпадут снова через НОК, то есть через 360 минут. Перед вычислением спроси себя: нужно разделить предметы на равные группы или найти общий момент?
В задачах на наборы и команды чаще нужен НОД, а в задачах о расписаниях, сигналах и повторениях — НОК. Ориентируйся на смысл, а не только на знакомые числа.
Типичные ошибки и быстрая проверка
Первая ошибка — перепутать НОД и НОК. Если ответ должен делить исходные числа, проверяй НОД. Если исходные числа должны делить ответ, проверяй НОК.
Вторая ошибка — взять для НОД все множители из разложений. Так обычно получают не НОД, а число, которое слишком велико. Для НОД нужны только общие множители и меньшие степени. Для НОК, наоборот, нельзя забывать множитель, который есть только в одном числе.
Третья ошибка — неверно разложить число. Проверяй разложение обратным умножением: произведение простых множителей должно вернуть исходное число.
| Что ищем | Как выбираем множители | Проверка |
|---|---|---|
| НОД | Общие, меньшие степени | Ответ делит каждое число |
| НОК | Все встречающиеся, большие степени | Ответ кратен каждому числу |
Для дополнительной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете: после каждого задания сразу станет понятно, на каком шаге появилась ошибка.
Если числа большие, используй алгоритм Евклида для НОД, а затем формулу связи с НОК. Это часто быстрее, чем длинное разложение.
Что запомнить
НОД — самое большое число, на которое делятся все данные числа. Он нужен для равного разбиения на максимально возможное количество групп. НОК — самое маленькое положительное число, которое делится на все данные числа. Он нужен для поиска общего момента повторения.
При разложении на простые множители для НОД бери общие множители с меньшими степенями, а для НОК — все множители с большими степенями. Полезная проверка для двух чисел:
НОД(a; b) × НОК(a; b) = a × b
Перед решением текстовой задачи переведи условие на математический язык: «поровну и без остатка» обычно ведёт к НОД, «снова одновременно» — к НОК. Если хочется закрепить тему, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. А задания экзаменационного типа можно дополнительно посмотреть в разделах ОГЭ и ЕГЭ.
Чем НОД отличается от НОК?
НОД — общий делитель, причём самый большой. НОК — общее кратное, причём самое маленькое положительное.
Как понять, что в задаче нужен НОД?
Ищи смысл равного деления: группы, наборы, команды или отрезки одинаковой длины без остатка.
Можно ли найти НОК через НОД?
Да. Для двух чисел используй формулу НОК(a; b) = a × b ÷ НОД(a; b), а затем проверь, что ответ делится на оба исходных числа.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько примеров разными способами: через делители, разложение и алгоритм Евклида. Затем добавь текстовые задачи, где сначала нужно определить, что искать — НОД или НОК.
Закрепить тему на практике
Теория без практики забывается за неделю. В личном кабинете Просто Урок — задания по этой теме с проверкой каждого шага. Регистрация бесплатная.