Памятка: право

Право: как решать задачи на проценты и пропорции

Проценты встречаются и в школьных задачах, и в заданиях ОГЭ: скидки, налоги, рост цен, состав раствора, статистика. Ошибка часто появляется не в вычислениях, а в том, что школьник путает исходное значение и результат сравнения. Эта памятка поможет разобрать задачу по шагам, выбрать нужную формулу и проверить ответ. После теории можно перейти к подготовке к ОГЭ или закрепить навык в бесплатной практике в личном кабинете.

Процент — это одна сотая часть числа: 1% = 1⁄100. Поэтому 25% = 25⁄100 = 0,25 = ¼. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести процент в десятичную дробь и умножить число на неё. Если требуется узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, сначала делят часть на целое, а затем умножают результат на 100%.

\( 1\% = 0,01 \)
\( p\% = p⁄100 \)
p% от a = a × p⁄100
a составляет от b: a⁄b × 100%

В задачах на пропорции удобно помнить: отношение показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. Записывай единицы измерения и подписывай, что обозначает каждое число. Такой короткий черновик снижает риск перепутать данные.

Три главных типа процентных задач

Первый тип — найти процент от числа. Например, 15% от 240: 240 × 0,15 = 36. Здесь 240 является целым значением, а 15% — долей от него. Второй тип — найти число по его проценту. Если 20% некоторого числа равны 50, то всё число равно 50 ÷ 0,2 = 250. Нельзя умножать 50 на 20: это увеличит ошибку в несколько раз.

Третий тип — определить, сколько процентов составляет одно число от другого. Если в классе 12 девочек и 18 мальчиков, то долю девочек считают от общего числа учеников: 12 ÷ 30 × 100% = 40%. Знаменатель здесь особенно важен: он отвечает на вопрос «от чего считаем?».

Что нужно найти	Действие	Пример
Процент от числа	Умножить на p⁄100	15% от 240 = 36
Число по его проценту	Разделить часть на p⁄100	50 ÷ 0,2 = 250
Процент одного числа от другого	Разделить часть на целое и умножить на 100%	12 ÷ 30 × 100% = 40%

Перед вычислением сформулируй действие словами. Если звучит «найти 15% от 240», нужна доля от известного целого. Если «50 — это 20% какого числа», неизвестно целое, значит, требуется деление.

Разобранный пример: цена со скидкой

Рассмотрим задачу: товар стоил 2400 рублей. На него сделали скидку 15%. Сколько рублей стал стоить товар? Сначала определяем исходное значение: 2400 рублей. Скидка равна 15% от этой суммы, поэтому сначала найдём размер скидки, а потом вычтем его из первоначальной цены.

Скидка = 2400 × 15⁄100 = 2400 × 0,15 = 360 рублей
Новая цена = 2400 − 360 = 2040 рублей
Ответ: 2040 рублей.

Можно решить быстрее: после скидки остаётся 100% − 15% = 85% цены. Тогда 2400 × 0,85 = 2040 рублей. Оба способа должны привести к одному результату. Второй удобен, когда в условии несколько последовательных изменений, но сначала лучше уверенно освоить первый.

Проверим смысл ответа. После скидки цена должна стать меньше 2400 рублей, и 2040 подходит. Разница составляет 360 рублей, а 360 ÷ 2400 × 100% = 15%. Значит, вычисления согласуются с условием.

Если бы в задаче говорилось о повышении цены на 15%, нужно было бы прибавить 360 рублей или умножить исходную сумму на 1,15. Скидка и наценка имеют разные коэффициенты: 0,85 и 1,15.

Изменение величины и типичные ошибки

При изменении на p% новая величина находится так: при увеличении исходное число умножают на 1 + p⁄100, при уменьшении — на 1 − p⁄100. Например, рост на 20% означает коэффициент 1,2, а уменьшение на 20% — 0,8. Это не означает, что увеличение на 20%, а затем уменьшение на 20% вернёт исходное число: 1,2 × 0,8 = 0,96.

Увеличение на p%: aнов = a × (1 + p⁄100)
Уменьшение на p%: aнов = a × (1 − p⁄100)
Последовательные изменения: aнов = a × k₁ × k₂

Первая частая ошибка — считать процент от нового значения, хотя в условии нужен процент от исходного. Вторая — забывать перевести 7% в 0,07. Третья — путать «на 30%» и «до 30%»: первое означает изменение, второе — итоговую долю. Четвёртая — округлять слишком рано. Сохраняй дробь или несколько знаков после запятой до последнего действия.

Не смешивай проценты и процентные пункты. Если доля выросла с 40% до 55%, увеличение составило 15 процентных пунктов, но относительно прежней доли это 15⁄40 × 100% = 37,5%.

Пропорции, дроби и проверка результата

Пропорция — это равенство двух отношений: a⁄b = c⁄d. Её основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому неизвестное можно найти умножением и делением. Например, если 3 тетради стоят 90 рублей, то 5 тетрадей при той же цене стоят x рублей: 3⁄5 = 90⁄x или 90 ÷ 3 × 5 = 150.

\( a⁄b = c⁄d \to a \times d = b \times c \)
3 тетради → 90 рублей
5 тетрадей → x рублей
x = 90 × 5 ÷ 3 = 150 рублей

Перед применением пропорции проверь, прямо ли пропорциональны величины. Если количество товара растёт и цена растёт при постоянной цене за единицу, зависимость прямая. Если скорость увеличивается, время на один и тот же путь уменьшается: это обратная пропорциональность. В таком случае произведение величин остаётся постоянным.

Дроби помогают увидеть смысл процентов: ¾ = 75%, 2⅓ = 2,333… Но смешанное число сначала лучше перевести в неправильную дробь: 2⅓ = 7⁄3. Для вычислений с десятичными дробями внимательно выравнивай запятые, а при умножении проверяй порядок результата приблизительной оценкой.

Если ответ кажется слишком большим или отрицательным там, где это невозможно, вернись к вопросу задачи и единицам. Математическая проверка начинается со смысла, а не только с арифметики.

Что запомнить

Процент — это доля, делённая на 100. Чтобы найти p% от числа, умножь число на p⁄100. Чтобы найти целое по известной части, раздели часть на p⁄100. Чтобы узнать, сколько процентов составляет часть от целого, раздели часть на целое и умножь на 100%. При увеличении используй коэффициент 1 + p⁄100, при уменьшении — 1 − p⁄100.

Главный вопрос перед решением: «От какого значения считается процент?». Запиши условие кратко, выбери формулу, выполни вычисления и проверь ответ обратным действием. Отдельно следи за словами «на сколько», «во сколько» и «до какого значения»: они задают разные действия.

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Если нужна системная подготовка, загляни в материалы по математике для ЕГЭ. Даже несколько задач с разными формулировками полезнее, чем механическое заучивание одной схемы.