Памятка: производная

Что такое производная

Производная часто пугает не самой идеей, а длинными записями и большим количеством правил. На деле это инструмент, который показывает, как быстро меняется функция в конкретной точке. Разобравшись с несколькими базовыми формулами и алгоритмом, ты сможешь уверенно решать задания на производную, касательную, исследование функции и наибольшее или наименьшее значение.

Если функция задаёт зависимость одной величины от другой, то её производная описывает скорость изменения. Например, путь зависит от времени, а производная пути по времени является скоростью. Геометрически производная в точке — это угловой коэффициент касательной к графику функции.

Обозначения: f′(x), y′, или dу/dx. Читают: «эф штрих от икс» или «производная функции». Значение f′(a) показывает, как функция изменяется именно при x = a.

Если f′(x) > 0, функция возрастает
Если f′(x) < 0, функция убывает
Если f′(x) = 0, возможна точка максимума, минимума или другая особая точка

Важно: равенство производной нулю само по себе ещё не доказывает наличие экстремума. Нужно проверить знак производной слева и справа от точки.

Основные правила и формулы

Начинай вычисление с упрощения выражения, если это возможно. Затем определи, какая формула подходит: производная суммы, произведения, частного или сложной функции. Числовой множитель можно вынести за знак производной.

Функция	Производная
C	0
xⁿ	n × xⁿ⁻¹
sin x	cos x
cos x	−sin x
eˣ	eˣ
ln x	1/x

\( (u + v)′ = u′ + v′ \)
\( (C \times u)′ = C \times u′ \)
\( (u \times v)′ = u′ \times v + u \times v′ \)
\( (\dfrac{u}{v})′ = \dfrac{u′ \times v - u \times v′}{v^2} \)

Для сложной функции действует правило цепочки: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) × g′(x). Например, при дифференцировании sin(3x) не забудь умножить результат на производную внутреннего выражения 3x.

В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на коротких примерах, чтобы формулы перестали выглядеть как список для заучивания.

Алгоритм решения

В большинстве школьных задач удобно действовать по одному плану. Сначала внимательно перепиши функцию и выдели её части. Затем вспомни формулу для каждой части. Если выражение представляет собой сумму, дифференцируй слагаемые отдельно. Если есть скобка в степени, синус от выражения или корень от выражения, проверь, не понадобится ли правило цепочки.

После получения производной приведи ответ к понятному виду. Раскрой скобки или вынеси общий множитель только тогда, когда это помогает дальнейшему решению. В задачах на экстремум приравняй производную к нулю и найди критические точки. Также проверь точки, где производная не существует, но сама функция определена.

\( f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 \)
\( f′(x) = 12x^3 - 10x + 7 \)
f′(x) = 0 → критические точки

Если задача связана с касательной, сначала найди f′(x), затем вычисли f′(x₀). Это будет угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x₀.

Разобранный пример

Найдём уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 3x − 1 в точке x₀ = 2. Сначала дифференцируем функцию. Производная квадрата равна 2x, производная 3x равна 3, производная постоянного числа равна нулю.

\( f(x) = x^2 + 3x - 1 \)
\( f′(x) = 2x + 3 \)
\( f′(2) = 2 \times 2 + 3 = 7 \)

Число 7 — угловой коэффициент касательной. Теперь найдём координату точки графика. Подставляем x₀ в исходную функцию, а не в производную.

\( y_0 = f(2) = 2^2 + 3 \times 2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9 \)
Точка касания: (2; 9)

Уравнение прямой через точку (x₀; y₀) с коэффициентом k имеет вид y − y₀ = k × (x − x₀). Подставим найденные значения.

\( y - 9 = 7 \times (x - 2) \)
\( y - 9 = 7x - 14 \)
\( y = 7x - 5 \)

Ответ: y = 7x − 5. Проверь себя: касательная должна проходить через точку (2; 9), а при x = 2 получаем y = 14 − 5 = 9. После разбора можно решить похожие задания бесплатно и сразу проверить ход рассуждений.

Типичные ошибки

Первая ошибка — забыть, что производная постоянного числа равна нулю. Поэтому в выражении 4x³ − 8 число −8 исчезает после дифференцирования. Вторая — неверно применить правило степени: производная x⁵ равна 5x⁴, а не x⁴ и не 5x⁵.

Третья ошибка встречается в произведении. Нельзя дифференцировать только первый множитель: (u × v)′ не равно u′ × v. Нужно использовать формулу произведения полностью. Четвёртая ошибка — потерять внутреннюю производную в сложной функции. Например, (2x + 1)⁴ даёт 4 × (2x + 1)³ × 2.

Наконец, не смешивай f(x₀) и f′(x₀). Первое — значение функции и координата точки на графике, второе — наклон касательной. В задачах на промежутки знаков удобно составить числовую прямую и отдельно проверить знак производной в каждом промежутке.

Для тренировки задач экзаменационного формата загляни в разделы подготовки к ОГЭ или подготовки к ЕГЭ, если соответствующий уровень тебе нужен.

Что запомнить

Производная показывает скорость изменения функции и наклон касательной. Перед решением определи структуру выражения: сумма, произведение, частное или сложная функция. Держи под рукой базовые формулы: (xⁿ)′ = n × xⁿ⁻¹, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (ln x)′ = 1/x.

Для исследования функции найди критические точки из уравнения f′(x) = 0 и проверь знак производной на промежутках. Для касательной найди сначала f′(x₀), затем f(x₀), после чего используй формулу y − y₀ = f′(x₀) × (x − x₀).

Главное — не пытайся угадывать ответ по внешнему виду функции. Выполняй действия последовательно и проверяй подстановкой. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, чтобы закрепить правила практикой.