Памятка: тригонометрические формулы

Основные тригонометрические тождества: фундамент вычислений

Кажется, что тригонометрия состоит из сотен сложных формул, которые невозможно запомнить перед контрольной или экзаменом. На самом деле почти все они логически вытекают из нескольких базовых соотношений и единичной окружности. Если понять эту связь один раз, тебе больше не придется судорожно вспоминать справочники — нужная формула соберется в голове автоматически.

В основе всей тригонометрии лежит единичная окружность с радиусом R = 1. Координата точки по оси OX определяет косинус угла (cos α), а по оси OY — синус угла (sin α). Тангенс равен отношению синуса к косинусу, а котангенс — отношению косинуса к синусу.

sin² α + cos² α = 1 (основное тригонометрическое тождество)
tg α = sin α / cos α, где cos α ≠ 0
ctg α = cos α / sin α, где sin α ≠ 0
\( \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 \)
\( 1 + \tg ^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos ^2} \alpha \)
\( 1 + \ctg ^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin ^2} \alpha \)

Эти шесть равенств связывают функции одного и того же угла. Если тебе известно значение одной функции и четверть, в которой лежит угол, ты всегда можешь однозначно восстановить остальные три. Быстро проверить свои силы и порешать интерактивные задачи на базовые соотношения можно в бесплатном тренажере нашей платформы.

Формулы сложения и аргументов кратных углов

Формулы сложения показывают, как выразить функцию от суммы или разности углов через тригонометрические функции каждого угла в отдельности. Это ключевой блок, из которого выводятся формулы двойных и половинных углов.

\( \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \)
\( \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta \)
\( \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \)
\( \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \)
\( \tg (\alpha \pm \beta ) = \dfrac{\tg \alpha \pm \tg \beta }{1 ∓ \tg \alpha \cdot \tg \beta } \)

Если в формулах сложения положить β = α, мы мгновенно получаем формулы двойного угла (2α). Обрати особое внимание на косинус двойного угла: у него есть три равносильные формы записи, и выбор правильной экономит кучу времени при решении уравнений.

\( \sin (2\alpha ) = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)
\( \cos (2\alpha ) = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \)
\( \cos (2\alpha ) = 2 \cdot \cos ^2 \alpha - 1 \)
\( \cos (2\alpha ) = 1 - 2 \cdot \sin ^2 \alpha \)
\( \tg (2\alpha ) = \dfrac{2 \cdot \tg \alpha }{1 - \tg ^2 \alpha } \)

Таблица значений и универсальные формулы приведения

Значения тригонометрических функций для углов первой четверти (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) нужно знать наизусть. Они регулярно встречаются как в первой, так и во второй части экзаменационных вариантов.

Угол α (град / рад)	sin α	cos α	tg α	ctg α
0° (0)	0	1	0	не существует
30° (π/6)	1/2	√3/2	√3/3	√3
45° (π/4)	√2/2	√2/2	1	1
60° (π/3)	√3/2	1/2	√3	√3/3
90° (π/2)	1	0	не существует	0

Для углов, выходящих за пределы первой четверти, используют формулы приведения. Чтобы не учить 32 отдельные строчки, пользуйся простым правилом двух шагов: если угол содержит π/2 или 3π/2 (вертикальная ось), название функции меняется (sin ↔ cos, tg ↔ ctg). Если угол опирается на горизонтальную ось (π или 2π), функция остается прежней. Знак результата всегда определяется по знаку исходной функции в заданной четверти.

Понижение степени и преобразование произведений в суммы

Когда в выражении встречаются квадраты синуса или косинуса, их часто требуется преобразовать в линейные выражения. Для этого применяют формулы понижения степени, которые являются прямым следствием косинуса двойного угла.

\( \sin ^2 \alpha = (1 - \cos (2\alpha )) / 2 \)
\( \cos ^2 \alpha = (1 + \cos (2\alpha )) / 2 \)
\( \tg ^2 \alpha = (1 - \cos (2\alpha )) / (1 + \cos (2\alpha )) \)

Если же перед тобой стоит задача разложить сумму функций на множители или, наоборот, перейти от произведения к сумме, используют формулы преобразования:

\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \cdot \sin (\dfrac{\alpha + \beta }{2}) \cdot \cos (\dfrac{\alpha - \beta }{2}) \)
\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cdot \sin (\dfrac{\alpha - \beta }{2}) \cdot \cos (\dfrac{\alpha + \beta }{2}) \)
\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cdot \cos (\dfrac{\alpha + \beta }{2}) \cdot \cos (\dfrac{\alpha - \beta }{2}) \)
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \cdot \sin (\dfrac{\alpha + \beta }{2}) \cdot \sin (\dfrac{\alpha - \beta }{2}) \)
\( \sin \alpha \cdot \cos \beta = ½ \cdot (\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta )) \)
\( \cos \alpha \cdot \cos \beta = ½ \cdot (\cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta )) \)
\( \sin \alpha \cdot \sin \beta = ½ \cdot (\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta )) \)

При подготовке к разделу тригонометрии на ЕГЭ по математике умение своевременно увидеть формулу понижения степени позволяет сократить решение сложного тригонометрического уравнения в два-три раза.

Пошаговый разбор практического примера

Давай разберем классическую экзаменационную задачу, в которой требуется найти значение тригонометрического выражения, используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество.

Условие: Найдите значение выражения 5 · sin(2α), если cos α = −3/5 и угол α принадлежит третьей четверти: α ∈ (π; 3π/2).

Шаг 1. Запишем формулу синуса двойного угла:
\( 5 \cdot \sin (2\alpha ) = 5 \cdot (2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha ) = 10 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha . \)

Шаг 2. Найдем sin α через основное тождество:
\( \sin ^2 \alpha = 1 - \cos ^2 \alpha = 1 - (\dfrac{-3}{5})^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}. \)
Так как угол α лежит в III четверти, синус там отрицателен: sin α < 0.
Следовательно, sin α = −√(16/25) = −4/5.

Шаг 3. Подставим найденные значения sin α и cos α в исходное выражение:
\( 10 \cdot (\dfrac{-4}{5}) \cdot (\dfrac{-3}{5}) = 10 \cdot (\dfrac{12}{25}) = \dfrac{120}{25} = \dfrac{24}{5} = 4,8. \)

Ответ: 4,8

Обрати внимание: если бы мы забыли учесть третью четверть и взяли sin α со знаком «плюс», итоговый ответ получился бы отрицательным (−4,8), что привело бы к потере первичного балла.

Что запомнить и как тренироваться

Чтобы уверенно чувствовать себя на любых проверочных работах, придерживайся четкого плана:

1. Не учи наизусть все формулы подряд: достаточно выучить основное тождество, определения функций, таблицу значений и формулы сложения — все остальные выводятся за 30 секунд прямо на черновике.
2. Всегда рисуй единичную окружность: она моментально напоминает знаки функций в каждой четверти и избавляет от глупых ошибок со знаками при использовании формул приведения.
3. Регулярно применяй теорию на практике: формулы запоминаются в руках, а не в глазах.

Сделай следующий шаг прямо сейчас: переходи в личный кабинет и реши 5 бесплатных практических заданий на тригонометрические формулы, чтобы закрепить пройденный материал!