Простые и составные числа

Разберись, какие числа называют простыми и составными

Если в заданиях ты путаешься в делителях и долго проверяешь каждое число, тема простых и составных чисел поможет навести порядок. После разбора ты научишься быстро определять вид числа, объяснять ответ и не терять баллы на простых шагах.

Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Например, у числа 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Если число делится на другое число без остатка, говорят, что первое число кратно второму.

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Число 1 не является простым, потому что у него только один делитель.

Составное число имеет больше двух делителей. Например, 8 делится на 1, 2, 4 и 8, поэтому оно составное. Число 9 тоже составное: его делители — 1, 3 и 9.

Научись быстро проверять число

Перебирать все числа подряд необязательно. Сначала используй признаки делимости. Чётное число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 число делится, если оканчивается на 0 или 5. На 10 — если последняя цифра 0.

Чтобы проверить делимость на 3 или 9, сложи цифры числа. Если сумма делится на 3, то и само число делится на 3. Если сумма делится на 9, число делится на 9. Например, 234: 2 + 3 + 4 = 9, значит, 234 делится и на 3, и на 9.

Для небольших чисел достаточно найти один подходящий делитель. Число 35 заканчивается на 5, значит, делится на 5 и является составным. Для числа 29 проверим делители 2, 3 и 5. Ни один не подходит, поэтому 29 простое.

При проверке больших чисел можно остановиться на делителях, не превышающих √n. Если подходящего делителя нет, число простое. В шестом классе этот способ встречается как идея, а на практике чаще помогают признаки делимости.

Бесплатная практика в личном кабинете «Просто Урок» поможет закрепить признаки делимости на коротких заданиях.

Пойми разницу на примерах

Рассмотрим числа от 2 до 15 и определим их тип. У каждого простого числа только две пары делителей в записи произведения: 1 × число. У составного числа есть и другое разложение, кроме умножения на 1 и само число.

Число	Делители	Вид
2	1, 2	простое
6	1, 2, 3, 6	составное
11	1, 11	простое
15	1, 3, 5, 15	составное

Число 2 — единственное чётное простое число. Любое другое чётное число делится на 2, поэтому у него есть делитель, отличный от 1 и самого числа. Значит, оно составное.

Важно не путать простые числа с нечётными. Нечётное число может быть составным: 9, 15 и 21 нечётные, но имеют дополнительные делители. И наоборот, 2 чётное, но простое.

Разложи составное число на простые множители

Простые числа служат «кирпичиками» для всех составных чисел. Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел. Такой навык нужен при сокращении дробей, нахождении НОД и НОК.

Начинай с наименьшего простого делителя — обычно с 2. Делишь число, пока результат снова делится на 2. Затем переходишь к 3, 5, 7 и другим простым числам.

48 → 2 × 24
48 → 2 × 2 × 12
48 → 2 × 2 × 2 × 6
48 → 2 × 2 × 2 × 2 × 3
\( 48 = 2^4 \times 3 \)

Проверка простая: перемножь получившиеся множители. 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48. Если результат совпал с исходным числом, разложение выполнено верно.

Не записывай составной множитель в окончательном ответе. Например, запись 48 = 6 × 8 показывает разложение, но оно не является разложением на простые множители, потому что 6 и 8 составные.

В личном кабинете «Просто Урок» можно бесплатно потренировать разложение чисел и сразу увидеть, на каком шаге появилась ошибка.

Избегай ошибок в заданиях

Первая ошибка — считать 1 простым числом. Запомни: у 1 только один делитель, поэтому она не относится ни к простым, ни к составным числам.

Вторая ошибка — объявлять простым любое нечётное число. Число 27 нечётное, но 27 = 3 × 9, поэтому оно составное. Проверяй не только делимость на 2, но и на 3, 5, 7.

Третья ошибка — останавливаться после одного неудачного делителя. Если 35 не делится на 2, это ещё не значит, что оно простое: 35 делится на 5.

Четвёртая ошибка — забывать сам признак делимости. В решении полезно написать короткое обоснование:

91 не делится на 2: последняя цифра 1
91 не делится на 3: 9 + 1 = 10
91 делится на 7: 91 = 7 × 13
Ответ: 91 — составное число

Проверяй ответ обратным действием. Для составного числа найди произведение двух множителей. Для простого достаточно показать, что подходящих делителей нет, если условие требует объяснения.

Запомни главное и сделай следующий шаг

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и себя. Составное число имеет больше двух делителей. Число 1 — особый случай: оно не простое и не составное. Единственное чётное простое число — 2.

Для быстрой проверки используй признаки делимости: на 2 — по последней цифре, на 3 и 9 — по сумме цифр, на 5 — по последней цифре 0 или 5. Если нашёл дополнительный делитель, число сразу можно назвать составным.

При разложении на простые множители дели число на 2, 3, 5 и другие простые числа, пока не останутся только простые множители. Не забудь проверить произведение.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. Так ты проверишь, умеешь ли применять правила, а не только повторять их.