Пружинный маятник

Пружинный маятник: что это такое

Если в задачах про колебания путаются сила упругости, период и амплитуда, решение быстро превращается в набор случайных формул. Разберём пружинный маятник так, чтобы ты понимал ход рассуждений: от поведения груза до расчёта периода, энергии и максимальной скорости.

Пружинный маятник — это груз массой m, прикреплённый к пружине. Если отвести груз от положения равновесия и отпустить, пружина начнёт сжиматься и растягиваться, а груз — двигаться туда и обратно. Такое движение называют механическими колебаниями.

Положение равновесия — точка, в которой силы уравновешены. Для горизонтального маятника это положение, где сила упругости отсутствует. Для вертикального маятника сила тяжести растягивает пружину, поэтому равновесие находится ниже её первоначальной длины.

Главное условие идеальной модели: трением пренебрегают, пружина подчиняется закону Гука, а её масса намного меньше массы груза. В реальности колебания постепенно затухают, но школьные задачи обычно рассматривают идеальный случай.

Сила упругости и основные величины

При смещении груза на расстояние x от положения равновесия пружина действует на него возвращающей силой. Она направлена к равновесию, поэтому в векторной форме имеет знак минус:

\( F_{\text{упр}} = -k \cdot x \)
k — жёсткость пружины, Н/м
x — смещение от равновесия, м

Чем жёстче пружина, тем сильнее она сопротивляется растяжению или сжатию. Амплитуда A — наибольшее по модулю отклонение груза от положения равновесия. Период T — время одного полного колебания, например движения из крайнего положения обратно в то же положение.

Частота ν показывает число колебаний за одну секунду и измеряется в герцах. Период и частота связаны так:

\( ν = \dfrac{1}{T} \)
\( T = 1/ν \)

Не перепутай амплитуду с расстоянием между крайними положениями: оно равно 2A. При малых колебаниях форма пружины и начальное отклонение не влияют на период, если пружина остаётся упругой.

Период и частота колебаний

Период пружинного маятника определяется массой груза и жёсткостью пружины:

\( T = 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\( ν = \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}}} \)

Здесь m нужно подставлять в килограммах, k — в Н/м. Из формулы видно: при увеличении массы период возрастает, а при увеличении жёсткости уменьшается. Если массу увеличить в 4 раза, период увеличится в 2 раза. Если жёсткость увеличить в 9 раз, период уменьшится в 3 раза.

Для вертикального и горизонтального маятника формула периода одинакова. Ускорение свободного падения g влияет на положение равновесия вертикального маятника, но не входит в формулу его периода.

Изменение параметра	Как изменится период
m увеличили в 4 раза	увеличится в 2 раза
k увеличили в 4 раза	уменьшится в 2 раза
амплитуду увеличили	в идеальной модели не изменится

Перед вычислениями проверь единицы. Например, 300 г = 0,3 кг, а 20 Н/см = 2000 Н/м. Такая проверка часто важнее самого извлечения корня.

Энергия и скорость груза

В идеальном пружинном маятнике механическая энергия сохраняется. Она переходит из потенциальной энергии пружины в кинетическую энергию груза и обратно. В крайнем положении скорость равна нулю, зато деформация пружины максимальна. В положении равновесия деформация относительно равновесия равна нулю, а скорость максимальна.

Потенциальная энергия пружины при смещении x:

\( E_{\text{упр}} = k \cdot \dfrac{x^2}{2} \)

Кинетическая энергия движущегося груза:

\( E_{\text{кин}} = m \cdot \dfrac{v^2}{2} \)

Если амплитуда равна A, полная энергия колебаний:

\( E = k \cdot \dfrac{A^2}{2} = m \cdot \dfrac{v_{\max}^2}{2} \)
\( v_{\max} = A \cdot \sqrt{\dfrac{k}{m}} \)

Амплитуду и смещение подставляй в метрах, массу — в килограммах. В вертикальном маятнике удобно отсчитывать энергию относительно положения равновесия: тогда влияние силы тяжести уже учтено в выборе точки отсчёта.

Типовая задача с решением

Рассмотрим задачу, в которой требуется найти период и максимальную скорость. Пусть груз совершает колебания на пружине без трения.

Дано:
\( m = 0,5 \text{кг} \)
k = 200 Н/м
A = 0,10 м
Найти: T, vₘₐₓ

Решение:
T = 2π·√(m/k) = 2π·√(0,5/200) = 2π·0,05 ≈ 0,31 с
\( v_{\max} = A \cdot \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0,10 \cdot \sqrt{\dfrac{200}{0,5}} = 0,10 \cdot 20 = 2 \text{м/с} \)

Ответ: T ≈ 0,31 с; vₘₐₓ = 2 м/с.

Почему максимальная скорость получилась в положении равновесия? Там вся энергия колебаний переходит в кинетическую. В крайней точке груз на мгновение останавливается, поэтому скорость равна нулю.

Обрати внимание на размерность: подкоренное выражение k/m имеет единицу 1/с², значит его корень имеет единицу 1/с. После умножения на амплитуду в метрах получается м/с. Если хочешь проверить себя на похожих задачах, можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решить несколько примеров с подсказками.

Что запомнить

Пружинный маятник совершает колебания около положения равновесия. Возвращающая сила определяется законом Гука: Fупр = −k·x. Период зависит только от массы груза и жёсткости пружины: T = 2π·√(m/k). Масса увеличивает период, жёсткость уменьшает его, а амплитуда в идеальной модели на период не влияет.

В крайних положениях скорость равна нулю, в равновесии она максимальна. Энергия сохраняется и переходит между потенциальной энергией пружины и кинетической энергией груза. Для вычислений обязательно переводи граммы в килограммы, сантиметры в метры, а Н/см в Н/м.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так ты проверишь, умеешь ли выбирать формулу и контролировать единицы. Если готовишься к экзамену, полезно также повторить разделы ОГЭ по физике или ЕГЭ по физике.