Просто УрокРабота за 5 минут
«Работа за 5 минут» — тема, где важно не знание, а аккуратность. Показываем по шагам: что делать, в каком порядке, и где обычно срываются.
Базовая формула и физический смысл задач на работу
Текстовые сюжетные задачи на совместный труд часто вызывают тревогу у выпускников перед экзаменами ОГЭ и ЕГЭ. Две трубы заполняют резервуар, бригада мастеров укладывает плитку или операторы верстают страницы — на первый взгляд условия кажутся запутанными из-за обилия дробей. Однако любая задача на работу подчиняется строгой механике и решается ровно за 5 минут, если понимать базовую формулу и не путать производительность со временем.
В основе всех вычислений лежит фундаментальная связь трех величин: объема работы (A), производительности труда (p) и времени выполнения (t). Производительность — это скорость выполнения задачи, то есть объем работы, сделанный за единицу времени (минуту, час, рабочий день):
\( A = p \cdot t \)
\( p = \dfrac{A}{t} \)
\( t = \dfrac{A}{p} \)
Главная особенность школьных задач: если в условии конкретный объем работы не выражен в деталях, литрах или метрах, его принимают за единицу (A = 1). Это может быть один вырытый котлован, один покрашенный забор или полностью наполненный резервуар. Тогда производительность каждого участника становится простой дробью вида 1/t.
Универсальная таблица: структурируем условие за 2 минуты
Около 90% ошибок при решении текстовых задач на экзамене возникают из-за сумбура на черновике. Самый надежный инструмент для экономии времени — краткая таблица из трех рабочих колонок. Она моментально наводит порядок в данных и показывает, какую переменную следует выразить через уравнение.
Заполняйте таблицу строго по строкам: сначала выпишите характеристики каждого отдельного участника, затем — параметры их совместной деятельности. Помните ключевой закон: производительности складываются, а время — никогда.
| Участник процесса | Объем работы (A) | Время работы (t, ч) | Производительность (p, часть/ч) |
|---|---|---|---|
| Первый рабочий | 1 | t₁ | p₁ = 1 / t₁ |
| Второй рабочий | 1 | t₂ | p₂ = 1 / t₂ |
| Работая вместе | 1 | t(общ) | p(общ) = p₁ + p₂ |
После того как ячейки заполнены, уравнение составляется автоматически через сложение скоростей: p₁ + p₂ = 1 / t(общ). Чтобы отработать навык составления таких таблиц на десятках реальных примеров, перейдите в наш личный кабинет с интерактивной практикой.
Пошаговый разбор экзаменационной задачи
Разберем классический прототип, который регулярно встречается в экзаменационных вариантах. Текст задачи: «Первая труба наполняет бассейн за 12 часов, а вторая — за 20 часов. Обе трубы открыли одновременно на 3 часа, после чего первую трубу закрыли. За сколько часов вторая труба закончит наполнение бассейна в одиночку?»
Примем объем всего бассейна за 1. Запишем пошаговое математическое решение через производительности:
1) p₁ = 112 (бассейна в час) — производительность первой трубы
2) p₂ = 120 (бассейна в час) — производительность второй трубы
3) p(совм) = 112 + 120 = 560 + 360 = 860 = 215 (бассейна в час) — общая скорость
4) A₁ = 3 · (215) = 615 = 25 (бассейна) — объем воды, налитый за первые 3 часа
5) A(ост) = 1 − 25 = 35 (бассейна) — оставшаяся работа
6) t₂ = A(ост) / p₂ = (35) / (120) = (35) · 20 = 12 (часов)
Ответ: вторая труба закончит наполнение бассейна за 12 часов. Вся логика задачи уместилась в шесть простых арифметических действий с обыкновенными дробями.
Подводные камни и частые ошибки школьников
Главная психологическая ловушка для ученика — желание сложить время работы двух объектов, чтобы найти общее время. Важно твердо осознать: если двое людей трудятся сообща, работа завершится быстрее, чем ее сделал бы самый быстрый работник в одиночку.
Никогда не складывайте часы и минуты участников: время t₁ + t₂ не имеет физического смысла при совместном труде. Складывать разрешено исключительно производительности (скорости работы): p(общ) = p₁ + p₂.
Второй частый повод для потери баллов — несогласованность единиц измерения. Если производительность рассчитывается в деталях за час, а время совместного труда дано в минутах (например, 45 минут), необходимо сразу перевести минуты в часы: 45 минут = 45/60 часа = ¾ часа. Не смешивайте разные размерности внутри одного уравнения.
Экспресс-метод: как справиться за 5 минут без дробей
Если сложение дробей с разными знаменателями отнимает у вас много сил и провоцирует вычислительные помарки, используйте метод подбора общего объема через наименьшее общее кратное (НОК). Этот прием позволяет моментально перейти к целым числам.
Вместо абстрактной единицы задайте объем работы как НОК заданных временных промежутков. Например, если времена равны 12 и 20 часам, примите объем бассейна за 60 литров. Тогда скорость первой трубы составит 60 / 12 = 5 л/ч, а второй — 60 / 20 = 3 л/ч. Расчеты в целых числах выполняются вдвое быстрее и без ошибок.
Экспресс-проверка результата: итоговое время совместной работы двух участников всегда строго меньше времени самого быстрого из них. Протестируйте этот алгоритм прямо сейчас в нашем бесплатном тренажере задач.
Что запомнить и как тренироваться
Чтобы без труда справляться с задачами на работу на реальном экзамене, держите в памяти четкий алгоритм:
1. Формула связи: работа равна произведению производительности на время (A = p · t).
2. Объем работы принимается за 1 либо за удобное число (НОК времен).
3. Производительность совместной работы равна сумме индивидуальных производительностей.
4. Все единицы времени (часы, минуты, дни) перед вычислением приводятся к единому стандарту.
Готовы закрепить пройденный материал и перестать бояться текстовых условий? Перейдите в личный кабинет и решите 5 заданий бесплатно с моментальной проверкой ответов и подсказками наставника. Это лучший способ надежно повысить баллы на ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Как быть, если одна труба наполняет бассейн, а другая сливает воду?
В этом случае трубы совершают противоположную работу. Производительность наполняющей трубы берется со знаком плюс (+p₁), а сливной — со знаком минус (−p₂). Общая производительность системы будет равна разности: p(общ) = p₁ − p₂.
Можно ли вместо единицы брать любое число для объема работы?
Да, объем работы можно принять за любое положительное число (например, 100, 60 или x). Значение итогового времени не изменится, так как при делении объема на производительность выбранный масштаб сократится.
Что делать, если в условии указано конкретное количество деталей?
Если в условии сказано, что токарь вытачивает 180 деталей, то работа A = 180. Тогда производительность будет равна 180 / t (деталей в час). Единицу в качестве объема используют только тогда, когда точный объем в числах не задан.
Как закрепить тему после разбора?
Лучший способ закрепить алгоритм — сразу решить 4–6 разнотипных задач: на трубы, совместное изготовление деталей и разгрузку машин. Зарегистрируйтесь в личном кабинете на нашем сайте и пройдите бесплатный блок практики с подсказками.
Закрепить тему на практике
Теория без практики забывается за неделю. В личном кабинете Просто Урок — задания именно по этой теме с проверкой каждого шага. Регистрация бесплатная.