Шпаргалка: логические операции

Что такое логические операции

Если в задачах по информатике путаются «и», «или» и «не», решение легко уходит в неверную сторону. Эта шпаргалка поможет быстро понять смысл логических операций, запомнить их таблицы истинности и уверенно применять правила в заданиях ОГЭ и ЕГЭ. Логика работает с высказываниями, которые могут быть только истинными или ложными.

Обозначим истину буквой 1, а ложь — буквой 0. Высказывание — это фраза, о которой можно однозначно сказать, верна она или нет. Например: «5 ≥ 3» — истинное высказывание, а «2 × 4 = 9» — ложное. Переменные A и B принимают значения 0 или 1.

Основные операции: отрицание НЕ, конъюнкция И, дизъюнкция ИЛИ и импликация ЕСЛИ…, ТО. В заданиях также встречается эквиваленция, или равносильность. Важно не только знать значки, но и переводить условие задачи на понятный язык.

A = 1 означает: высказывание A истинно
A = 0 означает: высказывание A ложно
¬A читается «не A»

Операция НЕ

Отрицание меняет значение высказывания на противоположное. Если A истинно, то ¬A ложно; если A ложно, то ¬A истинно. В языковых формулировках встречаются слова «не», «неверно, что», «не выполняется». Знак отрицания может записываться как ¬A, A̅ или NOT A. В школьных задачах чаще всего достаточно понимать смысл, а не запоминать все варианты записи.

A	¬A
0	1
1	0

Рассмотрим фразу «Число 7 делится на 2». Она ложна, поэтому её отрицание «Число 7 не делится на 2» истинно. А вот отрицание фразы «x ≥ 4» — это не «x ≤ 4», а «x < 4». Граница меняется строго: отрицание ≥ превращается в <, а отрицание > — в ≤.

И, ИЛИ и их таблицы

Конъюнкция A ∧ B означает «A и B». Всё выражение истинно только тогда, когда истинны оба условия. Если хотя бы одно условие ложно, результат равен 0. Так работает фильтр «число больше 2 и меньше 8»: подходят только числа, одновременно удовлетворяющие двум ограничениям.

Дизъюнкция A ∨ B означает «A или B». В математической логике «или» обычно не исключает совместное выполнение: истинным будет результат, если истинно хотя бы одно условие. Ноль получается только в одном случае — оба высказывания ложны.

A ∧ B: 1 ∧ 1 = 1; во всех остальных случаях 0
A ∨ B: 0 ∨ 0 = 0; во всех остальных случаях 1
«И» сужает множество решений, «или» расширяет его

Например, условие «x ≥ 3 и x < 6» задаёт промежуток от 3 включительно до 6 не включительно. Условие «x < 3 или x ≥ 6» описывает две отдельные части числовой прямой. Для сложных выражений полезно составлять промежуточные столбцы, не пытаясь считать всё в уме.

Закрепить базовые операции можно в бесплатной практике в личном кабинете: после каждого ответа сразу видно, на каком шаге появилась ошибка.

Импликация и равносильность

Импликация A → B читается «если A, то B». Она ложна только в одной ситуации: A истинно, а B ложно. Это удобно запоминать так: обещание нарушено, когда условие выполнено, но результат не наступил. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Эквиваленция A ↔ B, или A ≡ B, означает «A тогда и только тогда, когда B». Она истинна, если значения совпадают: оба равны 0 или оба равны 1. Если одно высказывание истинно, а другое ложно, результат равен 0.

\( A \to B: 0 \to 0 = 1; 0 \to 1 = 1; 1 \to 0 = 0; 1 \to 1 = 1 \)
\( A ↔ B: 0 ↔ 0 = 1; 0 ↔ 1 = 0; 1 ↔ 0 = 0; 1 ↔ 1 = 1 \)

Фраза «если число делится на 4, то оно чётное» — истинная импликация. Но обратное утверждение «если число чётное, то оно делится на 4» уже неверно: число 6 служит контрпримером. Поэтому не меняй местами части импликации без проверки.

Для дополнительной тренировки логических выражений подойдёт личный кабинет с бесплатными заданиями, где можно отработать именно таблицы истинности.

Порядок действий и типичные ошибки

В сложном логическом выражении соблюдай порядок: сначала скобки, затем НЕ, после него И, затем ИЛИ, а импликацию и равносильность выполняй последними. Если порядок не указан явно или запись выглядит длинной, расставь промежуточные результаты в отдельной таблице.

Разберём выражение: (A ∨ B) ∧ ¬A. Пусть A = 0, B = 1. Сначала вычисляем A ∨ B: получаем 1. Затем ¬A = 1. Последний шаг: 1 ∧ 1 = 1. Значит, всё выражение истинно.

\( A = 0, B = 1 \)
\( A ∨ B = 0 ∨ 1 = 1 \)
\( ¬A = ¬0 = 1 \)
\( (A ∨ B) ∧ ¬A = 1 ∧ 1 = 1 \)

Частая ошибка — считать «или» исключающим, хотя в обычной логике подходят оба варианта сразу. Другая ошибка — забывать скобки при отрицании составного условия: ¬(A ∧ B) не равно ¬A ∧ ¬B. По законам де Моргана: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B, а ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.

Что запомнить

НЕ меняет 0 на 1 и 1 на 0. И даёт 1 только при двух единицах. ИЛИ даёт 0 только при двух нулях. Импликация A → B ошибочна лишь в паре 1 → 0. Равносильность истинна, когда значения слева и справа одинаковы. В сложных выражениях сначала считай скобки и отрицания, затем двигайся по приоритету операций.

Если нужно отрицать неравенство, помни пары: ≥ и <, > и ≤. При преобразовании составных условий используй законы де Моргана и обязательно проверяй результат на простом наборе значений. Такой контроль быстро обнаруживает перепутанный знак или неверный порядок действий.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, а затем разбери ошибки по таблице истинности. Если готовишься к экзамену, полезно также посмотреть подборки заданий ОГЭ или материалов ЕГЭ и отметить операции, которые требуют повторения.