Системы счисления: разбор для ЕГЭ

Зачем понимать системы счисления на ЕГЭ по информатике

Путаница в основаниях и алгоритмах перевода часто лишает выпускников обидных первичных баллов в заданиях базового и повышенного уровней. В этом руководстве мы по шагам разберем всю необходимую математическую базу, чтобы ты щелкал задачи кодификатора без страха ошибиться в вычислениях.

Система счисления — это согласованный способ записи чисел с помощью специального набора знаков (цифр). В позиционных системах значение цифры напрямую зависит от ее места (разряда) в числе. Например, в записи 333 первая тройка обозначает сотни, вторая — десятки, а третья — единицы. Основание позиционной системы счисления — это количество цифр в ее алфавите. Для десятичной системы основание равно 10 (цифры от 0 до 9), для двоичной — 2 (цифры 0 и 1), для восьмеричной — 8 (цифры от 0 до 7).

В кодификаторе экзамена системы счисления лежат в основе заданий на анализ программ, кодирование и обработку числовой информации. Если ты только начинаешь системную подготовку к ЕГЭ по информатике, уверенный навык ручного перевода чисел сбережет тебе драгоценные минуты на экзамене.

Связь степеней двойки: быстрый перевод через триады и тетрады

Компьютерные системы работают с двоичным кодом, однако длинные цепочки нулей и единиц неудобно читать человеку. Поэтому в программировании используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Так как 8 = 2³ и 16 = 2⁴, перевод между этими системами выполняется мгновенно без промежуточного перевода в десятичную.

Для перевода из двоичной системы в восьмеричную число разбивают справа налево на группы по 3 символа (триады), а для перевода в шестнадцатеричную — на группы по 4 символа (тетрады). Если крайней левой группе не хватает цифр, ее дополняют нулями слева. В шестнадцатеричной системе цифры от 10 до 15 обозначаются латинскими буквами: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

Десятичная (10)	Двоичная (2)	Восьмеричная (8)	Шестнадцатеричная (16)
0	0000	0	0
5	0101	5	5
7	0111	7	7
10	1010	12	A
15	1111	17	F

Пример перевода двоичного числа 11010110₂ в шестнадцатеричный вид:

1. Разбиваем число на тетрады справа налево: 1101 0110
2. Переводим первую тетраду: 1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀ = D₁₆
3. Переводим вторую тетраду: 0110₂ = 0 + 4 + 2 + 0 = 6₁₀ = 6₁₆
4. Собираем результат: 11010110₂ = D6₁₆

Универсальный перевод: в десятичную систему и обратно

Чтобы перевести число из любой системы счисления с основанием q в десятичную, используют развернутую форму записи. Число представляется как сумма произведений его цифр на основание системы в степени, равной номеру разряда (разряды нумеруются справа налево, начиная с нуля).

Число: 235₈
Разряды: 2 (разряд 2), 3 (разряд 1), 5 (разряд 0)
Вычисление: 235₈ = 2 · 8² + 3 · 8¹ + 5 · 8⁰ = 2 · 64 + 3 · 8 + 5 · 1 = 128 + 24 + 5 = 157₁₀

Для обратного перевода из десятичной системы в систему с основанием q число последовательно делят на q нацело, выписывая остатки от деления. Процесс продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Итоговое число собирается из остатков, записанных в обратном порядке — от последнего к первому.

Перевод 25₁₀ в двоичную систему:
252 = 12 (остаток 1)
122 = 6 (остаток 0)
62 = 3 (остаток 0)
32 = 1 (остаток 1)
12 = 0 (остаток 1)
Записываем остатки снизу вверх: 25₁₀ = 11001₂

Арифметика и уравнения с неизвестным основанием

Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение) в позиционных системах счисления выполняются по тем же правилам, что и в привычной десятичной школе: столбиком с переносом разряда при переполнении или заемом из старшего разряда. Переполнение наступает, когда сумма цифр разряда достигает величины основания q или превышает ее.

В экзаменационных заданиях часто встречаются уравнения с неизвестным основанием x. Алгоритм решения таких задач всегда одинаков: перевести все элементы уравнения в десятичную систему счисления через развернутую форму и решить полученное алгебраическое уравнение.

Пример уравнения: 21_x + 13_x = 40_x
Записываем в десятичной форме: (2 · x¹ + 1 · x⁰) + (1 · x¹ + 3 · x⁰) = 4 · x¹ + 0 · x⁰
Упрощаем: 2x + 1 + x + 3 = 4x
\( 3x + 4 = 4x \)
\( x = 4 \)

Пошаговый разбор типового экзаменационного задания

Рассмотрим популярный прототип задачи на анализ арифметического выражения. Задача: «Сколько значащих нулей содержится в четверичной записи значения выражения 4¹⁶ + 2³⁶ − 16⁴ − 4?»

Решать такое задание прямым возведением в степень не имеет смысла из-за гигантского объема вычислений. Приведем все слагаемые к степеням основания 4.

1. Преобразуем компоненты выражения:
\( 4^1^6 = 4^1^6 \)
\( 2^3^6 = (2^2)^1^8 = 4^1^8 \)
\( 16^4 = (4^2)^4 = 4^8 \)
\( 4 = 4^1 \)
2. Записываем выражение в порядке убывания степеней:
\( E = 4^1^8 + 4^1^6 - 4^8 - 4^1 \)
3. Вспомним свойство позиционной системы: число 4ⁿ записывается как единица и n нулей в четверичной системе.
Разность вида 4ⁿ − 4ᵐ (где n > m) в четверичной системе записывается как (n − m) троек (старших цифр) и m нулей.
4. Преобразуем разность: 4¹⁸ + 4¹⁶ − 4⁸ − 4¹ = 4¹⁸ + (4¹⁶ − 4⁸) − 4¹
Выражение 4¹⁶ − 4⁸ дает восемь четверичных троек и восемь нулей: 3333333300000000₄
Вычитаем еще 4¹: разность превращается в 3333333233333300... то есть семь троек, одну двойку, шесть троек и один ноль на конце.
5. Старшая степень 4¹⁸ дает одну единицу в 18-м разряде. Все остальные позиции до 16-го разряда заполняются нулями (разряды 17 и 16 содержат ноль и единицу).
6. Подсчитываем общее количество нулей среди всех 19 разрядов четверичного числа: результат равен 4 нулям.

Ты можешь также проверить подобные расчеты программным кодом на Python, написав короткий цикл с операторами деления нацело и остатка. Попрактиковаться в составлении таких скриптов можно в бесплатном тренажере Просто Урок.

Что запомнить и как закрепить результат

Системы счисления — базовый фундамент информатики. Чтобы не терять баллы, помни три главных правила:

1. Для степеней двойки (2, 4, 8, 16) используй быстрый перевод через группы битов без перехода в десятичную систему.
2. При решении уравнений раскладывай числа по степеням основания и обязательно проверяй ограничение: основание строго больше наибольшей цифры.
3. В выражениях со степенями приводи все члены к единому основанию и используй формулу разности степеней.

Теория работает только вместе с практикой. Сделай следующий шаг прямо сейчас: перейди в личный кабинет и реши 5 тренировочных задач по системам счисления, чтобы закрепить навык перевода.