Просто УрокСистемы счисления: разбор для ОГЭ
Разберём «Системы счисления» так, чтобы тема наконец встала на место: короткая теория, наглядный пример, алгоритм и ошибки, на которых теряют баллы. В конце — что запомнить и где закрепить на практике.
Как устроены системы счисления и что проверяют на ОГЭ
Если в задачах ОГЭ путаются индексы у чисел и непонятно, с какой стороны начинать перевод, тема быстро кажется сложнее, чем она есть. Разберём систему по шагам: ты научишься переводить числа, сравнивать их и решать типовые задания без угадывания.
Система счисления определяет, какие цифры используются и какое значение имеет каждая позиция. В привычной десятичной системе основание равно 10: разрешены цифры от 0 до 9. В двоичной системе основание 2, поэтому используются только 0 и 1. Восьмеричная система использует цифры от 0 до 7, а шестнадцатеричная — цифры 0–9 и буквы A–F.
Индекс справа внизу показывает основание: 1011₂, 37₈, 2F₁₆. Одни и те же знаки могут обозначать разные значения. Например, 10₂ — это два в десятичной системе, а 10₁₀ — десять.
На экзамене важно не только выполнить перевод, но и внимательно прочитать условие. Проверь, в какой системе записан каждый объект, что требуется найти и какой формат ответа нужен.
Перевод из любой системы в десятичную
Чтобы перевести число в десятичную систему, разложи его по разрядам. Справа налево разряды получают степени основания: нулевую, первую, вторую и так далее. Затем умножь каждую цифру на соответствующую степень и сложи результаты.
\( 11001_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \)
\( 11001_2 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25_1_0 \)
Точка здесь обозначает обычное умножение, а не специальную запись из формул. Важно начинать степени с нуля именно справа. Если цифра равна нулю, разряд можно не считать, но при черновой записи лучше оставить его, чтобы не ошибиться.
Рассмотрим восьмеричное число:
\( 347_8 = 3 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 7 \cdot 8^0 \)
\( 347_8 = 3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 7 = 192 + 32 + 7 = 231_1_0 \)
Перед вычислениями подпиши степени над цифрами. Такая короткая запись помогает не перепутать порядок разрядов даже в спешке.
Перевод из десятичной системы в двоичную
Для перевода целого десятичного числа в другую систему используй деление на основание. В двоичной системе делим на 2 и каждый раз записываем остаток: 0 или 1. Продолжаем, пока частное не станет нулём. Ответ составляем из остатков снизу вверх.
25 : 2 = 12, остаток 1
12 : 2 = 6, остаток 0
6 : 2 = 3, остаток 0
3 : 2 = 1, остаток 1
1 : 2 = 0, остаток 1
Читаем остатки снизу вверх: 25₁₀ = 11001₂
Проверка выполняется обратным переводом: 11001₂ = 16 + 8 + 1 = 25₁₀. Если результат не совпал, чаще всего ошибка возникла при чтении остатков или в степени двойки.
Для восьмеричной системы дели на 8, для шестнадцатеричной — на 16. Остаток 10 в шестнадцатеричной записи заменяется на A, 11 — на B, 12 — на C, 13 — на D, 14 — на E, 15 — на F.
В бесплатной практике в личном кабинете «Просто Урок» можно закрепить именно такие переводы и сразу проверить ответ.
Как сравнивать числа и решать типовое задание
Сравнивать числа в разных системах напрямую нельзя, пока они не приведены к одной системе. Проще всего перевести оба числа в десятичную, если значения небольшие. Например, сравним 10110₂ и 25₈.
\( 10110_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 = 16 + 4 + 2 = 22_1_0 \)
\( 25_8 = 2 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 16 + 5 = 21_1_0 \)
22₁₀ > 21₁₀, значит 10110₂ > 25₈
Алгоритм решения типового задания выглядит так:
1. Выпиши основания систем.
2. Выбери общий вид записи, обычно десятичный.
3. Выполни перевод каждого числа.
4. Сравни полученные значения или выполни действие.
5. Проверь ответ обратным переводом.
Если двоичные числа имеют одинаковую длину, больше будет то, у которого первая различающаяся цифра слева равна 1. Но этот быстрый способ работает только при одинаковом количестве разрядов.
Не сравнивай количество цифр без учёта основания. Число 111₂ меньше 100₈, хотя в первом варианте три цифры, а во втором тоже три.
Логика, таблицы истинности и двоичные записи
Системы счисления встречаются рядом с логическими выражениями. В информатике значение «истина» часто обозначают 1, а «ложь» — 0. Поэтому полезно уверенно читать операции НЕ, И, ИЛИ. Операция И даёт 1 только тогда, когда оба условия истинны. Операция ИЛИ даёт 0 только при двух нулях. НЕ меняет 0 на 1, а 1 на 0.
| A | B | A И B | A ИЛИ B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Решай таблицу истинности по столбцам: сначала выполни действия в скобках, затем НЕ, И, ИЛИ, если в условии не указан другой порядок. Например, для выражения НЕ A И B сначала меняется A, затем выполняется И.
В тренажёре «Просто Урок» для ОГЭ удобно отдельно потренировать логику и переводы, чтобы не смешивать разные шаги в одном задании.
Что запомнить перед тренировкой
Главное правило перевода в десятичную систему: цифры умножаются на степени основания, начиная справа со степени 0. Главное правило обратного перевода: дели число на основание и читай остатки снизу вверх. Для двоичной записи достаточно цифр 0 и 1, для восьмеричной — от 0 до 7.
Перед ответом проверь три вещи: допустимы ли цифры в выбранной системе, не потерялся ли нулевой разряд и совпадает ли результат обратной проверкой. Если числа записаны в разных системах, сначала приведи их к общему основанию.
Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После каждого ответа фиксируй не только ошибку, но и шаг, на котором она появилась. Так тренировка превращается в понятный алгоритм подготовки.
Короткая памятка для черновика:
В систему 10: разряды × степени основания → сумма.
Из системы 10: деление на основание → остатки снизу вверх.
Сравнение: одинаковое основание → сравнение значений.
Логика: 1 — истина, 0 — ложь.
Частые вопросы
Как закрепить тему после разбора?
Используй бесплатный личный кабинет «Просто Урок» и тренажёр по системам счисления. Решай задания небольшими сериями и разбирай каждый неверный шаг.
Можно ли переводить число сразу в двоичную систему?
Да, для небольших чисел можно использовать деление на 2. После этого обязательно проверь результат обратным переводом в десятичную систему.
Что делать, если в числе встречается цифра 8?
Такое число не может быть записано в двоичной или восьмеричной системе. Проверь условие и основание записи.
Нужно ли учить таблицу истинности полностью?
Полезно знать основные строки и правила операций И, ИЛИ и НЕ. На экзамене таблицу можно восстановить по этим правилам.
Закрепить тему на практике
Теория без практики забывается за неделю. В личном кабинете Просто Урок — задания именно по этой теме с проверкой каждого шага. Регистрация бесплатная.