Средняя скорость

Пойми, что означает средняя скорость

Если в задаче скорость меняется, легко растеряться и начать складывать числа «на автомате». Разберём понятный алгоритм, чтобы ты мог находить среднюю скорость в задачах про дорогу, поездки и школьные соревнования.

Средняя скорость показывает, с какой постоянной скоростью нужно было бы двигаться весь путь, чтобы потратить столько же времени. Важно: это не всегда обычное среднее арифметическое скоростей.

Главная формула выглядит так:

\( v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} \div t_{\text{общ}} \)
Sобщ — весь пройденный путь
tобщ — всё время движения

Сначала найди общий путь, затем общее время. Только после этого дели путь на время. Если часть маршрута пройдена со скоростью 60 км/ч, а другая часть — со скоростью 40 км/ч, средняя скорость зависит не только от этих двух чисел, но и от расстояний или времени на участках.

Единицы должны совпадать: километры и часы дают км/ч, метры и секунды — м/с. Бесплатно потренироваться на похожих примерах можно в личном кабинете «Просто Урок».

Используй алгоритм без путаницы

Решай задачи о средней скорости по четырём шагам. Такой порядок помогает не перепутать общий путь с одним из участков.

1. Выпиши все участки движения и их данные. Укажи расстояние, скорость или время.
2. Приведи единицы измерения к одному виду.
3. Найди общий путь: сложи длины участков.
4. Найди общее время и раздели общий путь на общее время.

\( S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 + … \)
\( t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 + … \)
\( v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} \div t_{\text{общ}} \)

Если известны путь и скорость, время вычисляют так:

\( t = S \div v \)

Если известны время и скорость, путь равен:

\( S = v \times t \)

Следи за минутами. Например, 30 минут — это ½ часа, а 20 минут — ⅓ часа. Время 2 часа 20 минут можно записать как 2⅓ часа. Не подставляй 20 вместо ⅓: это разные величины.

Разбери задачу про поездку

Рассмотрим полный пример. Велосипедист проехал 12 км со скоростью 12 км/ч, затем сделал короткую остановку? В условии сказано только о движении, поэтому остановку не учитываем. После этого он проехал ещё 18 км со скоростью 18 км/ч. Найдём среднюю скорость.

Сначала вычислим время каждого участка. Для первого участка 12 км при скорости 12 км/ч дают 1 час. Второй участок занял также 1 час: 18 разделить на 18. Общий путь равен 30 км, общее время — 2 часа.

Дано: S₁ = 12 км, v₁ = 12 км/ч
\( S_2 = 18 \text{км}, v_2 = 18 \text{\text{км}/\text{ч}} \)
\( t_1 = S_1 \div v_1 = 12 \div 12 = 1 \text{ч} \)
\( t_2 = S_2 \div v_2 = 18 \div 18 = 1 \text{ч} \)
\( S_{\text{общ}} = 12 + 18 = 30 \text{км} \)
\( t_{\text{общ}} = 1 + 1 = 2 \text{ч} \)
\( v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} \div t_{\text{общ}} = 30 \div 2 = 15 \text{\text{км}/\text{ч}} \)
Ответ: 15 км/ч.

Проверь ответ: 15 км/ч находится между 12 и 18 км/ч. Это разумно. Если бы получилось 25 км/ч, стоило бы перепроверить вычисления.

Заметь: здесь среднее арифметическое скоростей тоже равно 15 км/ч, но это совпадение. Оно возникло потому, что времена движения на участках одинаковы.

Не попадайся в типичные ловушки

Первая ошибка — сложить скорости и поделить на количество участков. Формула (v₁ + v₂) ÷ 2 работает только в специальных условиях, например когда на каждом участке затрачено одинаковое время. В обычной задаче используй общий путь и общее время.

Вторая ошибка — забыть остановку. Если спрашивают среднюю скорость за всю поездку, а в условии есть стоянка, время остановки входит в общее время. Если спрашивают среднюю скорость именно во время движения, остановку не включают. Внимательно читай формулировку.

Третья ошибка — смешать часы и минуты. Пример: 90 минут = 1,5 часа, а не 90 часов. Четвёртая — округлить промежуточные значения слишком рано. Лучше сохранять дробь, например ¾ часа, и округлять только окончательный ответ.

На экзамене ОГЭ или ЕГЭ полезно отдельно выписывать единицы и делать проверку диапазона: средняя скорость без остановок обычно лежит между наименьшей и наибольшей скоростями.

Сравни способы решения

Иногда условие даёт одинаковые расстояния, а иногда — одинаковое время. Это влияет на удобный способ решения.

Что одинаково	Как действовать	Пример формулы
Время на участках	Можно найти среднее арифметическое скоростей	vср = (v₁ + v₂) ÷ 2
Расстояния на участках	Сначала найти время каждого участка	vср = 2v₁v₂ ÷ (v₁ + v₂)
Ничего не сказано	Использовать общий путь и общее время	vср = Sобщ ÷ tобщ

Таблица помогает выбрать короткий путь, но основная формула надёжнее любой запоминалки. Например, если автобус проехал половину маршрута со скоростью 30 км/ч, а половину — 60 км/ч, расстояния равны. Средняя скорость будет не 45 км/ч, а:

\( v_{\text{ср}} = 2 \times 30 \times 60 \div (30 + 60) \)
\( v_{\text{ср}} = 3600 \div 90 = 40 \text{\text{км}/\text{ч}} \)

Почему результат ближе к 30? Медленный участок занимает больше времени. В тренажёре «Просто Урок» можно закрепить именно такие различия между одинаковыми путями и одинаковым временем.

Запомни главное и закрепи навык

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Не усредняй скорости без проверки условия. Сначала приведи единицы к общему виду, затем найди расстояния и времена участков, сложи их и только после этого выполни деление.

\( 1. S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 + … \)
\( 2. t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 + … \)
\( 3. v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} \div t_{\text{общ}} \)
Проверка: ответ должен иметь единицы скорости.

Если в задаче есть остановка, выясни, входит ли она в рассматриваемое время. Если путь задан в километрах, а время в минутах, переведи минуты в часы или километры в метры — главное, чтобы единицы совпадали.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме бесплатно. После каждого ответа возвращайся к трём вопросам: какой общий путь, какое общее время, правильно ли совпадают единицы.