Теорема Виета в задачах

Как быстро понять теорему Виета

Если квадратное уравнение кажется длинным и запутанным, теорема Виета поможет увидеть ответ без громоздкой формулы корней. Разберём, как находить корни по их сумме и произведению, проверять решения и уверенно справляться с заданиями 7–8 класса.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Если его корни обозначены x₁ и x₂, то выполняются два важных равенства:

\( x_1 + x_2 = -b \)
\( x_1 \times x_2 = c \)

Первое равенство говорит о сумме корней, второе — об их произведении. Это и есть теорема Виета для приведённого квадратного уравнения. Слово «приведённое» означает, что коэффициент при x² равен 1.

Например, в уравнении x² − 7x + 12 = 0 нужно найти два числа, сумма которых равна 7, а произведение — 12. Подходят 3 и 4, значит, корни равны 3 и 4.

Как применять формулы по шагам

Чтобы не ошибиться, действуй по короткому алгоритму. Сначала приведи уравнение к стандартному виду. Затем внимательно определи знак коэффициента b и свободного члена c. После этого подбери два числа по сумме и произведению.

Алгоритм выглядит так:

1. Перенеси все слагаемые в левую часть.
2. Проверь, что перед x² стоит 1.
3. Найди сумму корней: −b.
4. Найди произведение корней: c.
5. Подбери числа и выполни проверку.

Знаки особенно важны. Если c > 0, корни имеют одинаковые знаки. Если c < 0, корни разных знаков. Знак суммы помогает определить, какие именно знаки выбрать.

Знак c	Корни	Пример пары
c > 0	одного знака	3 и 4 или −3 и −4
c < 0	разных знаков	−2 и 5
c = 0	один корень равен 0	0 и 6

Для закрепления можно решить несколько похожих примеров в бесплатном личном кабинете «Просто Урок».

Разобранный пример с проверкой

Решим уравнение полностью и не пропустим ни одного шага:

\( x^2 - 9x + 20 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = 9 \)
\( x_1 \times x_2 = 20 \)
Числа 4 и 5 дают нужные значения:
\( 4 + 5 = 9 \)
\( 4 \times 5 = 20 \)
Следовательно, x₁ = 4, x₂ = 5.
Проверка: 4² − 9 × 4 + 20 = 16 − 36 + 20 = 0.
\( 5^2 - 9 \times 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0. \)

Ответ можно записать в любом порядке: x₁ = 4, x₂ = 5 или x₁ = 5, x₂ = 4. Корни — это числа, при которых исходное выражение становится равным нулю.

Иногда удобнее рассуждать от разложения на множители:

\( x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому x − 4 = 0 или x − 5 = 0.

Если числа не находятся быстро, это не означает, что задача нерешаема. Можно перейти к дискриминанту и затем использовать Виета для проверки результата.

Что делать, если уравнение неприведённое

Теорема Виета работает и для уравнения общего вида:

ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0

В этом случае формулы меняются:

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \)

Например, для уравнения 2x² − 10x + 12 = 0 сумма корней равна 5, а произведение — 6. Подходят числа 2 и 3. Можно сначала разделить всё уравнение на 2 и получить x² − 5x + 6 = 0.

Делить уравнение можно только на ненулевое число. Если коэффициенты имеют общий множитель, сокращение обычно упрощает вычисления и делает подбор корней очевиднее.

В заданиях ОГЭ теорема Виета часто помогает быстро решить квадратное уравнение или проверить уже найденные корни. Но обязательно смотри на формулировку: иногда требуется только сумма корней, произведение или значение выражения без нахождения самих корней.

Типичные ошибки и полезные связи

Первая ошибка — потерять минус. В уравнении x² + 6x + 8 = 0 сумма корней равна −6, а не 6. Поэтому подходят −2 и −4: их сумма −6, произведение 8.

Вторая ошибка — перепутать сумму и произведение. Удобно записывать их в две строки до подбора чисел:

сумма = −b
произведение = c

Третья ошибка — проверить только один корень. Подставляй оба, особенно если ответ получен подбором.

Теорема Виета связана и с геометрией. Если стороны прямоугольника имеют длины x₁ и x₂, то их сумма может задавать периметр, а произведение — площадь. Например, при сумме 10 и произведении 21 стороны равны 3 и 7:

\( P = 2 \times (3 + 7) = 20 \)
\( S = 3 \times 7 = 21 \)

Такие задачи часто превращаются в квадратное уравнение. Значит, важно уметь переводить условие с обычного языка на язык суммы и произведения. В кабинете «Просто Урок» можно потренировать именно такие переходы.

Что запомнить перед самостоятельной

Для приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 сумма корней равна −b, а произведение — c. Для неприведённого уравнения ax² + bx + c = 0 нужно разделить эти значения на a.

Перед решением проверь три вещи: уравнение приведено к стандартному виду, знак перед b учтён, найденные числа действительно дают нужную сумму и произведение. После подбора обязательно подставь корни в исходное уравнение.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \)

Если корни не подбираются целыми числами, используй дискриминант. Теорема Виета всё равно пригодится для проверки: она работает как контрольный инструмент.

Следующий шаг — зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме бесплатно. После каждой попытки сверяй не только ответ, но и знаки суммы и произведения.