Просто УрокТеория вероятностей: задачи ОГЭ и ЕГЭ на одну формулу
Теория вероятностей пугает названием, но в школьной программе это одна формула и несколько правил вокруг неё. Разбираем классическое определение на кубике, монете и шарах, а также противоположные и несовместные события — всё, что нужно для заданий первой части.
Что такое вероятность
Вероятность — это число, которое показывает, насколько событие возможно. Она всегда лежит в пределах от 0 до 1. Вероятность достоверного события, которое случится наверняка, равна 1. Вероятность невозможного события равна 0.
Удобно думать о вероятности как о доле: если из восьми равных шансов три удачные, вероятность равна 3/8. Дальше остаётся только аккуратно считать шансы — для этого и нужна формула.
Формула P = m/n
Классическое определение: вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов m к числу всех равновозможных исходов n.
\( P(A) = \dfrac{m}{n} \)
Ключевое слово в определении — «равновозможные». Формула работает, когда все исходы одинаково возможны: честный кубик, честная монета, шары, перемешанные в ящике. Сначала посчитай все исходы, потом — сколько из них благоприятные, и раздели.
Считай исходы медленно и до конца. Большинство ошибок в задачах на вероятность — не в формуле, а в подсчёте: забыт один исход, и дробь уже неверная. Сомневаешься — выпиши все исходы списком.
Три классических примера
Игральный кубик. Всего исходов 6. Чётных чисел три: 2, 4 и 6, поэтому вероятность выпадения чётного числа равна 3/6 = 0,5. Шестёрка одна — её вероятность 1/6.
P(чётное) = 36 = 0,5
Монета. Исходов два: орёл и решка. Вероятность орла равна 1/2.
Шары. В ящике 5 красных и 3 синих шара — всего 8. Вероятность вынуть синий равна 3/8, красный — 5/8.
P(синий) = 38
Обрати внимание: во всех примерах сначала считается полное число исходов и только потом — благоприятные. Это главный навык всей темы.
Противоположное событие
Противоположное событие — это «не A»: событие A не случилось. Его вероятность равна единице минус вероятность самого события.
P(не A) = 1 − P(A)
Пример: вероятность выпадения шестёрки равна 1/6, значит вероятность того, что шестёрка не выпадет, равна 1 − 1/6 = 5/6. Правило выручает, когда «не A» считать напрямую сложно, а «A» — просто.
Сумма несовместных событий
Несовместные события — те, что не могут произойти в одном испытании одновременно. Для них вероятность «A или B» равна сумме вероятностей.
P(A или B) = P(A) + P(B)
Пример: вероятность вынуть из ящика красный шар равна 5/8, синий — 3/8. Вероятность вынуть красный или синий: 5/8 + 3/8 = 1. События несовместные — один шар не может быть и красным, и синим сразу.
А вот если события происходят вместе и не влияют друг на друга, вероятности умножаются. Два кубика: вероятность двух шестёрок подряд равна 1/6 · 1/6 = 1/36. Итоговое правило простое: «или» для несовместных — складываем, «и» для независимых — умножаем.
Проверяй себя единицей: сумма вероятностей всех исходов испытания всегда равна 1. Если у тебя не сходится — где-то потерян исход или появился лишний.
Типичные ошибки
- Считают не все исходы. Забытый вариант — и вся дробь неверна. Перечисляй исходы полностью, особенно если их много.
- Умножают вместо сложения. Для несовместных событий «или» — это сумма вероятностей. Умножение здесь ломает решение.
- Отвечают «фифти-фифти» без расчёта. «Или случится, или нет» — не значит 50 на 50. В ящике с 5 красными и 3 синими шансы не равные.
- Записывают вероятность больше 1. Вероятность всегда от 0 до 1. Получилось больше — ищи ошибку в подсчёте исходов.
На экзаменах вероятность встречается в простых заданиях первой части — и на ОГЭ, и на ЕГЭ. Это баллы, которые стоит забирать гарантированно. Дальше по подготовке помогут план подготовки к ОГЭ и план подготовки к ЕГЭ, а формулы по остальным темам собраны в справочнике теории.
Потренируй задачи на вероятность
В тренажёре ОГЭ и тренажёре ЕГЭ выбери номер задания, получи короткую теорию и серии из пяти задач. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Одна формула, два правила и внимательный подсчёт исходов — этого достаточно, чтобы уверенно решать задачи на вероятность. Ошибки здесь обидные: задания простые, и терять на них баллы труднее всего простить себе. Если нужен рядом спокойный помощник, который объяснит любую тему по шагам, — это Просто Урок.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Что такое вероятность простыми словами?
Это доля удачных исходов среди всех возможных. Если из 8 шаров 3 синие, шанс вынуть синий — 3/8. Вероятность всегда выражается числом от 0 до 1.
Может ли вероятность быть больше 1?
Нет. Вероятность лежит в пределах от 0 до 1: достоверное событие — 1, невозможное — 0. Если в решении получилось больше единицы, где-то ошибка в подсчёте исходов.
В каких заданиях экзаменов встречается теория вероятностей?
В простых заданиях первой части ОГЭ и ЕГЭ: кубики, монеты, шары, таблицы. Они решаются одной формулой и приносят гарантированные баллы тем, кто считает внимательно.
Как понять, складывать или умножать вероятности?
Ориентируйся на союз в вопросе. «Или» для несовместных событий — складываем: P(A) + P(B). «И» для независимых событий — умножаем: P(A) · P(B).