Все формулы квантовой физики

1. Квант света: энергия и импульс

Квантовая физика кажется сложной из-за большого числа символов и непривычных правил. Но если собрать формулы в понятную систему, ты сможешь быстро выбрать нужную зависимость в задаче, проверить единицы и не потерять баллы на преобразованиях. Начнём с фотона — минимальной порции электромагнитного излучения.

Энергия фотона определяется его частотой или длиной волны:

\( E = hν \)
\( E = hc⁄\lambda \)
\( ν = c⁄\lambda \)

Здесь E — энергия фотона в джоулях (Дж), h = 6,63 × 10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка, ν — частота в герцах (Гц), c = 3 × 10⁸ м⁄с — скорость света в вакууме, λ — длина волны в метрах (м). Чем больше частота, тем больше энергия. Поэтому ультрафиолетовый фотон энергетически «сильнее» фотона красного света.

Импульс фотона можно найти так:

\( p = E⁄c \)
\( p = h⁄\lambda \)

Его единица измерения — кг·м⁄с. Перед подстановкой переводи нанометры в метры: 1 нм = 10⁻⁹ м.

2. Фотоэффект и работа выхода

Фотоэффект — вырывание электронов с поверхности вещества под действием света. Энергия одного фотона расходуется на работу выхода электрона из металла Aвых, а оставшаяся часть превращается в максимальную кинетическую энергию электрона.

\( hν = A_{\text{вых}} + E_k max \)
\( E_k max = mₑv_{\max}^2⁄2 \)
\( E_k max = eUₛ \)
\( A_{\text{вых}} = hν_0 = hc⁄\lambda _0 \)

В формулах mₑ — масса электрона, примерно 9,1 × 10⁻³¹ кг; vₘₐₓ — максимальная скорость электрона в м⁄с; e = 1,6 × 10⁻¹⁹ Кл; Uₛ — задерживающее напряжение в вольтах (В); ν₀ и λ₀ — пороговые частота и длина волны.

Фотоэффект возможен, если ν ≥ ν₀ или λ ≤ λ₀. Увеличение интенсивности света повышает число выбитых электронов, но не их максимальную энергию. Энергию иногда удобно выражать в электронвольтах: 1 эВ = 1,6 × 10⁻¹⁹ Дж.

3. Длина волны де Бройля

Гипотеза де Бройля утверждает, что волновые свойства есть не только у света, но и у движущихся частиц. Для частицы с импульсом p длина волны де Бройля равна:

\( \lambda = h⁄p \)
\( \lambda = h⁄mv \)

Если частица движется с известной кинетической энергией, сначала можно найти её импульс:

\( E_k = mv^2⁄2 \)
\( p = mv = \sqrt{2mE_k} \)
\( \lambda = h⁄\sqrt{2mE_k} \)

Массу m указывай в килограммах, энергию — в джоулях. Для макроскопических тел длина волны настолько мала, что волновые эффекты незаметны. У электрона она может быть сравнима с расстояниями между атомами, поэтому электронная дифракция подтверждает волновую природу частиц.

Типовая задача:

Дано: m = 9,1 × 10⁻³¹ кг, v = 2 × 10⁶ м⁄с.
Решение: λ = h⁄mv = 6,63 × 10⁻³⁴⁄(9,1 × 10⁻³¹ × 2 × 10⁶) ≈ 3,6 × 10⁻¹⁰ м.
Ответ: λ ≈ 0,36 нм.

Для дополнительной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решить несколько задач на единицы и импульс.

4. Принцип неопределённости

В квантовой физике невозможно одновременно сколь угодно точно знать координату частицы и её импульс. Это не недостаток прибора, а фундаментальное свойство микромира.

Δx × Δp ≥ ℏ⁄2
\( ℏ = h⁄2\pi \)
Δx × Δv ≥ ℏ⁄(2m)

Здесь Δx — неопределённость координаты в метрах, Δp — неопределённость импульса в кг·м⁄с, Δv — неопределённость скорости в м⁄с, ℏ — приведённая постоянная Планка, примерно 1,05 × 10⁻³⁴ Дж·с. Чем точнее задано положение частицы, тем менее точно известен её импульс.

В школьных задачах обычно требуется выразить одну неопределённость через другую:

Δp ≥ ℏ⁄(2Δx)
Δx ≥ ℏ⁄(2Δp)

Не путай Δx с обычным перемещением тела: здесь символ Δ показывает разброс возможных значений. Принцип особенно заметен для электрона и практически не влияет на движение мяча.

5. Атом водорода и энергетические уровни

В модели Бора электрон в атоме водорода может находиться только на определённых энергетических уровнях. Энергия электрона на уровне с номером n выражается формулой:

Eₙ = −13,6⁄n² эВ
\( E_n = -2,18 \times 10^-^1^8⁄n^2 \text{Дж} \)

Номер уровня n = 1, 2, 3… называется главным квантовым числом. Знак «минус» показывает, что электрон связан с ядром. При переходе между уровнями атом испускает или поглощает фотон:

\( hν = |E_2 - E_1| \)
\( \lambda = hc⁄|E_2 - E_1| \)

При переходе на более низкий уровень энергия выделяется, при переходе на более высокий — поглощается. Радиус орбиты в модели Бора:

\( r_n = r_0n^2 \)
r₀ ≈ 5,3 × 10⁻¹¹ м

В таблице удобно держать основные обозначения и единицы.

Величина	Обозначение	Единица
Энергия фотона	E	Дж
Частота	ν	Гц
Длина волны	λ	м
Импульс	p	кг·м⁄с
Работа выхода	Aвых	Дж или эВ

6. Что запомнить

Главная связка квантовой физики начинается с фотона: E = hν = hc⁄λ, а его импульс p = h⁄λ. Для фотоэффекта используй hν = Aвых + Eₖ max и помни о пороговой частоте. Для материальной частицы применяй λ = h⁄mv, а для ограничений измерения — Δx × Δp ≥ ℏ⁄2.

Всегда проверяй единицы: нанометры переводи в метры, электронвольты — в джоули, частоту записывай в герцах. Отдельно выучи постоянные h, c, e и ℏ: они встречаются в нескольких формулах. Если готовишься к ОГЭ или ЕГЭ, полезно повторить формат заданий ЕГЭ по физике и потренироваться выбирать формулу по условию.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждой задачи объясни себе, почему подходит именно эта формула, а не просто запомни ответ.