Всемирное тяготение

Всемирное тяготение: почему тела притягиваются

Законы всемирного тяготения часто кажутся набором формул, где легко потерять единицы, радиусы и знаки. Но если понять физический смысл каждой величины, задачи ЕГЭ решаются гораздо увереннее: ты сможешь определить силу притяжения, ускорение свободного падения и движение спутников. Разберём тему от базовой идеи до типовой задачи и отдельно выделим ловушки, из-за которых чаще всего теряют баллы.

Любые два тела, имеющие массу, притягиваются друг к другу. Сила этого взаимодействия называется гравитационной. Она направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел. Чем больше массы, тем сильнее притяжение; чем дальше тела друг от друга, тем слабее оно становится.

Закон всемирного тяготения сформулировал Исаак Ньютон. Для материальных точек или шарообразных тел расстояние между телами считают между их центрами. В школьных задачах планету обычно считают однородным шаром или точечным телом, если это явно допускается условием.

Формула закона и единицы измерения

Сила гравитационного притяжения рассчитывается по формуле:

\( F = G \cdot m_1 \cdot \dfrac{m_2}{r^2} \)
F — сила притяжения, Н
m₁ и m₂ — массы тел, кг
r — расстояние между центрами тел, м
G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²

Коэффициент G очень мал, поэтому между обычными предметами сила притяжения практически незаметна. В космических масштабах массы огромны, и гравитация становится главным взаимодействием. Квадрат расстояния в знаменателе особенно важен: если расстояние увеличить в 2 раза, сила уменьшится в 4 раза; если увеличить в 3 раза, уменьшится в 9 раз.

Перед решением переводи все данные в СИ: граммы в килограммы, километры в метры, минуты в секунды. Если тела находятся на высоте над поверхностью планеты, расстояние r равно не высоте, а сумме радиуса планеты и высоты: r = R + h.

Для самостоятельной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и проверить, насколько уверенно ты работаешь с единицами и степенями десяти.

Ускорение свободного падения

У поверхности Земли любое тело испытывает силу притяжения со стороны планеты. Если масса тела равна m, то сила тяжести определяется так:

F тяж = m · g
\( g = G \cdot \dfrac{M}{R^2} \)
M — масса планеты, кг
R — расстояние от центра планеты до тела, м

У поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с², а в школьных задачах часто используют g = 10 м/с². Выбор значения нужно смотреть в условии: если оно дано, применяй именно его. Ускорение свободного падения не зависит от массы самого тела. Тяжёлый и лёгкий предметы падают с одинаковым ускорением, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.

На высоте h над поверхностью планеты ускорение уменьшается:

\( gₕ = G \cdot \dfrac{M}{(R + h)^2} \)
\( gₕ / g_0 = \dfrac{R^2}{(R + h)^2} \)

Отсюда видно, что высота должна сравниваться с радиусом планеты. Если h намного меньше R, изменение g может быть небольшим; если высота сравнима с R, разница становится существенной.

Спутники и первая космическая скорость

Спутник, движущийся по круговой орбите, постоянно падает к планете, но из-за большой горизонтальной скорости всё время промахивается мимо её поверхности. Гравитационная сила играет роль центростремительной силы:

\( G \cdot M \cdot \dfrac{m}{r^2} = m \cdot \dfrac{v^2}{r} \)
\( v = \sqrt{G \cdot \dfrac{M}{r}} \)

Масса спутника сокращается, поэтому скорость кругового движения не зависит от массы самого спутника. Она определяется массой планеты и расстоянием до её центра. При удалении от планеты орбитальная скорость уменьшается.

У поверхности Земли скорость, необходимая для круговой орбиты без учёта атмосферы, называется первой космической:

\( v_1 = \sqrt{G \cdot \dfrac{M}{R}} = \sqrt{g \cdot R} \)
для Земли v₁ ≈ 7,9 км/с

Не путай скорость спутника и ускорение свободного падения. На орбите g может быть меньше земного, но невесомость возникает не потому, что притяжение исчезло, а потому, что спутник и находящиеся в нём тела свободно падают вместе.

Типовая задача: сила притяжения

Разберём задачу, где нужно найти силу взаимодействия двух тел. Пусть массы тел равны 2 т и 3 т, а расстояние между их центрами составляет 10 м. Используем закон всемирного тяготения.

Дано:
m₁ = 2 т = 2 × 10³ кг
m₂ = 3 т = 3 × 10³ кг
r = 10 м
G = 6,67 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²

Решение:
\( F = G \cdot m_1 \cdot \dfrac{m_2}{r^2} \)
\( F = 6,67 \times 10^-^1^1 \cdot 2 \times 10^3 \cdot 3 \times \dfrac{10^3}{10^2} \)
F ≈ 4,0 × 10⁻⁵ Н

Ответ: F ≈ 4,0 × 10⁻⁵ Н.

Сначала мы перевели тонны в килограммы, затем возвели расстояние в квадрат. В подобных примерах удобно отдельно работать со степенями десяти и отдельно с обычными числами. Сила получилась маленькой, что соответствует повседневному опыту: гравитационное взаимодействие грузов заметно только при очень больших массах.

Если в задаче спрашивают, во сколько раз изменится сила, необязательно вычислять её полностью. Например, при увеличении одной массы в 4 раза сила увеличится в 4 раза, а при увеличении расстояния в 2 раза уменьшится в 4 раза.

После разбора полезно решить несколько похожих вариантов в личном кабинете с бесплатными заданиями, а затем сравнить ход решения, а не только итоговое число.

Что запомнить

Всемирное тяготение действует между любыми телами с массой. Сила направлена к центрам тел и вычисляется по формуле F = G · m₁ · m₂ / r². Массы должны быть выражены в килограммах, расстояние — в метрах, а r для планеты и высоты равно R + h. У поверхности планеты F тяж = m · g, а ускорение свободного падения определяется массой планеты и расстоянием до её центра.

Ситуация	Что меняется	Как меняется сила
Массу одного тела увеличили в 2 раза	m₁ или m₂	Увеличивается в 2 раза
Расстояние увеличили в 2 раза	r	Уменьшается в 4 раза
Высота над планетой увеличилась	r = R + h	Ускорение уменьшается

Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, чтобы закрепить формулы на практике. Для повторения других разделов экзамена пригодятся материалы по физике для ЕГЭ и подготовке к ОГЭ.