Просто УрокЗадачи на смеси и сплавы: как решать
Задачи на смеси и сплавы пугают длинными условиями, но решаются одним приёмом: следить не за раствором, а за чистым веществом внутри него. Показываем формулу концентрации, табличный метод и полный разбор примера по шагам.
Главный принцип: масса чистого вещества
В сиропе есть сахар, в растворе — соль, в сплаве — медь. Во всех задачах на смеси работает один принцип: следи не за раствором, а за чистым веществом внутри него. Раствор можно разбавить, перелить, смешать с другим — но масса самого сахара или соли меняется только тогда, когда её добавляют или убирают.
Поэтому первый вопрос к любой такой задаче: сколько граммов чистого вещества в каждом участнике? Ответ на него — уже половина решения. Этот же подход встречается и в задачах на проценты: там ты тоже каждый раз спрашиваешь себя, от какого числа берётся процент.
Что такое концентрация
Концентрация показывает, какую долю массы раствора занимает чистое вещество. Её измеряют в процентах.
Концентрация = масса чистого вещества / масса раствора · 100%
Не менее важно обратное действие: если концентрация известна, массу вещества находят умножением.
Масса вещества = масса раствора · концентрация
Например, в 400 г 30% раствора соли спрятано 400 · 0,3 = 120 г чистой соли. Запомни обе формы записи — в задачах они ходят парами: то считаем вещество из раствора, то концентрацию из вещества.
Табличный метод
Условия задач на смеси длинные: два-три раствора, проценты, общая масса. Чтобы не запутаться, рисуй таблицу с тремя колонками: масса раствора, концентрация, масса чистого вещества. Одна строка — один раствор, последняя строка — смесь.
Таблица работает как карта задачи. Заполняешь известные ячейки, а недостающие находишь по формуле из прошлого раздела. Когда таблица заполнена, до ответа остаётся одно-два действия. На экзамене такая запись занимает полминуты и спасает от ошибок, когда числа в условии похожи друг на друга.
Разбор примера по шагам
Задача: смешали 200 г 10% раствора соли и 300 г 20% раствора. Какой стала концентрация смеси?
| Раствор | Масса раствора | Концентрация | Масса соли |
|---|---|---|---|
| Первый | 200 г | 10% | ? |
| Второй | 300 г | 20% | ? |
| Смесь | ? | ? | ? |
Шаг 1. Считаем чистую соль в каждом растворе: 200 · 0,1 = 20 г и 300 · 0,2 = 60 г.
Шаг 2. Всего соли: 20 + 60 = 80 г.
Шаг 3. Общая масса смеси: 200 + 300 = 500 г.
Шаг 4. Концентрация смеси: 80 / 500 · 100% = 16%.
\( \dfrac{80}{500} \cdot 100\% = 16\% \)
Проверка здравым смыслом: смешали слабый и средний растворы, значит, ответ обязан оказаться между 10% и 20%. 16% — как раз такой. Задача решена.
Не смешивай проценты и граммы в одной строчке вычислений. Сначала переведи каждую концентрацию в массу чистого вещества — и только потом складывай. Табличка на черновике занимает полминуты, а от половины ошибок спасает.
Разбавление водой
Частый случай: к раствору добавляют воду. Приём простой — масса чистого вещества не меняется, меняется только масса раствора.
Пример: к 400 г 30% раствора добавили 200 г воды. Солёного вещества было 400 · 0,3 = 120 г — и столько его и осталось. А вот раствор стал весить 400 + 200 = 600 г. Новая концентрация: 120 / 600 · 100% = 20%.
\( \dfrac{120}{600} \cdot 100\% = 20\% \)
Заметь: концентрация упала, хотя соль никуда не исчезла — её просто «размазало» по большей массе. Выпаривание работает наоборот: раствор худеет, концентрация растёт, а масса вещества по-прежнему прежняя.
Потренируй задачи на смеси
В тренажёре ОГЭ выбери нужный номер, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Типичные ошибки
- Складывать концентрации. 10% + 20% ≠ 30%: проценты относятся к разным массам, складывать можно только граммы вещества и граммы растворов.
- Брать процент от общей массы. «20% соли» в условии относится к своему раствору, а не ко всей смеси.
- Забыть пересчитать общую массу. После смешивания масса раствора — это сумма масс всех участников, а не масса одного из них.
- Потерять воду при разбавлении. Масса раствора выросла, а масса вещества осталась прежней — концентрация считается уже от новой массы.
От всех четырёх ошибок страхует прикидка: ответ на задачу про смеси всегда лежит между концентрациями исходных растворов. Получил 35% из 10% и 20% — ищи ошибку, пересчитывай.
Сначала прикинь, где должен оказаться ответ, а потом считай. Смешали 10% и 20% — результат обязан оказаться между ними и ближе к тому раствору, которого больше по массе. Если формула противоречит прикидке, ошибку ищи в вычислениях.
Сплавы решаются точно так же: медь и олова — те же «раствор» и «чистое вещество». Масса меди равна массе сплава, умноженной на долю меди, а при сплавлении массы металлов просто складываются. Дальше — знакомые четыре шага из таблицы.
Задачи на смеси — это задачи на проценты, записанные языком сиропа и сплава: повтори задачи на проценты, собери таблицу — и они станут самыми приятными баллами. Дальше по подготовке поможет план подготовки к ОГЭ. А если нужна основа ещё прочнее, повтори дроби — концентрации и проценты живут на языке долей. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к ОГЭ — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Почему нельзя просто сложить концентрации?
Концентрация — это доля вещества в своей массе, а массы растворов разные. Складывать можно граммы соли и граммы растворов, но не проценты: 10% от 200 г — это 20 г, 20% от 300 г — это 60 г, и новую концентрацию считают от общей массы 500 г.
Как решать задачи про сплавы?
Точно так же, как про растворы: считай массу чистого металла. Масса меди в сплаве равна массе сплава, умноженной на долю меди. При сплавлении массы металлов складываются, дальше делишь массу меди на массу нового сплава — получаешь новую концентрацию.
Что делать, если добавляют воду?
Помни: масса чистого вещества не меняется, меняется только масса раствора. Найди, сколько вещества было, раздели его на новую массу раствора — получишь новую концентрацию. Она всегда меньше исходной.
В каком задании ОГЭ встречаются смеси?
В текстовых задачах первой части — рядом с задачами на проценты, движение и работу. Калькулятор запрещён, поэтому табличный метод и аккуратные вычисления экономят время и баллы.