Задание 25: перебор и комбинаторика

Что такое перебор и комбинаторика

Если в задании 25 теряешься среди вариантов, таблиц и длинных условий, проблема обычно не в сложной математике, а в отсутствии понятного алгоритма. Перебор и комбинаторика помогают организовать варианты так, чтобы ничего не пропустить и не посчитать дважды. Разберём, как переводить условие на язык действий, выбирать подходящую формулу и проверять ответ. После этого похожие задачи будут решаться спокойнее и быстрее.

Перебор — это последовательная проверка всех допустимых вариантов. Он удобен, когда вариантов немного или есть жёсткие ограничения. Комбинаторика нужна, когда считать вручную слишком долго: мы используем правила сложения и умножения, перестановки, размещения и сочетания.

Главный вопрос перед решением: что именно выбирают — порядок имеет значение или нет? Если из букв составляют код, порядок важен. Если выбирают команду, порядок обычно не важен. Запиши это словами до применения формулы.

Начать тренировку можно в личном кабинете с бесплатной практикой: там удобно сразу проверять, где именно возникла ошибка.

Базовые правила подсчёта

Правило сложения используется, когда варианты объединяются по принципу «или». Если действие можно выполнить одним из a способов или одним из b способов, всего получается a + b способов. Важно, чтобы группы не пересекались. Если один вариант попал сразу в две группы, его посчитают дважды.

Правило умножения подходит для последовательных шагов: сначала выбираем один элемент, затем другой. Если первый шаг выполняется a способами, а второй — b способами, всего будет a × b вариантов.

Например, пароль состоит из одной цифры и одной буквы. При 10 цифрах и 33 буквах число паролей равно 10 × 33 = 330. Если первая цифра не может быть нулём, вместо 10 берём 9.

Ситуация	Что применяем	Пример
Выбор одного из вариантов	Сложение	4 + 6
Несколько последовательных шагов	Умножение	4 × 6
Порядок не важен	Сочетания	Выбор комиссии
Порядок важен	Размещения или перестановки	Код или расписание

Формулы комбинаторики

Перестановки используют, когда нужно расставить все n различных объектов в определённом порядке. Их число обозначают n! и вычисляют так: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Например, четыре книги можно поставить на полку 4! = 24 способами.

Размещения применяют, если из n объектов выбирают k и порядок выбранных объектов важен: Aₙᵏ = n! ÷ (n − k)!. Так считают, например, коды без повторений или распределение призовых мест.

Сочетания нужны, когда выбирают k объектов из n, но порядок не имеет значения: Cₙᵏ = n! ÷ (k! × (n − k)!). В знаменателе появляется k!, потому что одна и та же группа могла быть перечислена в разном порядке.

При повторениях сначала выясни, разрешены ли одинаковые символы. Если код может содержать повторяющиеся цифры, каждый разряд выбирается независимо. Если повторения запрещены, количество вариантов на каждом следующем шаге уменьшается.

Для систематизации формул полезно открыть бесплатные задания в профиле и после каждого ответа записывать не только результат, но и выбранный тип подсчёта.

Разобранный пример

Рассмотрим задачу: из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют трёхзначные числа без повторения. Сколько чисел делятся на 5?

Сначала ищем ограничение на последнюю цифру. Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. Цифры 0 среди данных нет, поэтому последняя цифра обязана быть 5. После этого остаются цифры 1, 2, 3, 4 для первых двух разрядов. Порядок там важен: 12 и 21 — разные числа.

Последняя цифра: 1 вариант — 5
Первая цифра: 4 варианта
Вторая цифра: 3 варианта
Всего: 1 × 4 × 3 = 12
Ответ: 12

Проверка перебором выглядит так: 125, 135, 145, 215, 235, 245, 315, 325, 345, 415, 425, 435. Получилось 12 чисел, значит, схема верна. Обрати внимание: нельзя было взять 5 вариантов для каждой позиции, потому что цифры запрещено повторять.

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — использовать сложение вместо умножения. Если нужно выполнить несколько действий подряд, варианты перемножаются. Вторая — не учитывать ограничение на первую цифру. В многозначном числе она не может быть нулём. Третья — перепутать сочетания и размещения: спроси себя, изменится ли результат при перестановке выбранных элементов.

Четвёртая ошибка — считать один вариант несколько раз. Особенно часто это происходит, когда решение разбито на случаи. Проверь, пересекаются ли случаи, и при необходимости выбери их так, чтобы каждый вариант относился только к одному случаю.

Полезная проверка — оценить порядок величины ответа. Если из пяти цифр составляют трёхзначные числа, результат не должен быть больше 5³ = 125 при разрешённых повторениях. Если ответ оказался 600, значит, где-то потерялось ограничение.

Дополнительные варианты по теме можно решить в разделе подготовки к ЕГЭ, а затем разобрать неверные шаги в личном кабинете.

Что запомнить

1. «И» обычно означает умножение, «или» — сложение, если случаи не пересекаются. 2. При перестановках порядок важен и используются все объекты. 3. Размещения учитывают порядок выбранных элементов, сочетания — нет. 4. Ограничения условия нужно применять до подсчёта, а не исправлять ответ в конце.

Алгоритм задания такой: выпиши доступные элементы, раздели решение на шаги или случаи, определи важность порядка, проверь повторения и оцени ответ. Если вариантов мало, сделай аккуратный перебор и используй его как проверку формулы.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения объясни себе, почему выбрано именно правило сложения, умножения, размещения или сочетания.