Задание 7: теория в заданиях

Что проверяет задание 7 на ЕГЭ по математике?

Многие выпускники теряют легкий первичный балл на задании 7 только потому, что путают график самой функции с графиком ее производной. Кажется, что тема производных и первообразных требует страниц сложных вычислений, но в первой части профильного ЕГЭ по математике проверяется именно глубинное понимание сути: умение анализировать графики, сопоставлять поведение функции со знаком производной и применять геометрический смысл касательной. В этой статье мы разберем всю необходимую теорию, разложим по полочкам свойства графиков и научимся безошибочно забирать этот балл на экзамене.

Задание 7 охватывает три ключевых содержательных блока: геометрический смысл производной (угловой коэффициент касательной), физический смысл (мгновенная скорость и ускорение движения), а также свойства первообразной и интеграла в контексте нахождения площади криволинейной трапеции. Если ты системно освоишь эти блоки в рамках подготовки к ЕГЭ по математике, то на решение любой задачи 7 у тебя будет уходить не более полутора минут.

Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной заключается в следующем: значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту k касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x₀. В свою очередь, этот коэффициент равен тангенсу угла наклона α между касательной и положительным направлением оси Ox:

f '(x₀) = k = tg α
Уравнение касательной: y = f '(x₀) · (x − x₀) + f(x₀)
Если угол α острый, то k > 0 (касательная возрастает)
Если угол α тупой, то k < 0 (касательная убывает)
Если касательная горизонтальна, то α = 0° и f '(x₀) = 0

Физический смысл производной описывает процессы изменения величин во времени. Если координата прямолинейно движущегося тела задана формулой x(t), то скорость тела в момент времени t — это первая производная координаты: v(t) = x'(t). Ускорение a(t) — это первая производная скорости или вторая производная координаты: a(t) = v'(t) = x''(t). Потренироваться находить скорость и угловой коэффициент по готовым чертежам ты можешь, выполнив задания через бесплатный личный кабинет на платформе.

Поведение функции f(x)	Знак и значение производной f '(x)	Положение касательной к f(x)
Возрастает	f '(x) > 0 (график f ' выше оси Ox)	Наклонена вправо (tg α > 0)
Убывает	f '(x) < 0 (график f ' ниже оси Ox)	Наклонена влево (tg α < 0)
Точка максимума / минимума	f '(x) = 0 (график f ' пересекает Ox)	Параллельна оси Ox (tg α = 0)

Исследование функций с помощью графиков производной

Главный навык для успешного решения задачи — внимательное чтение условия. Всегда подчеркивай в тексте, чей график изображен на рисунке: функции y = f(x) или производной y = f '(x). От этого зависит логика всех дальнейших рассуждений.

Если дан график производной f '(x):

1. Промежуткам возрастания функции f(x) соответствуют те области, где график производной f '(x) лежит строго выше оси абсцисс (f '(x) > 0).

2. Промежуткам убывания функции f(x) соответствуют области, где график производной f '(x) лежит строго ниже оси абсцисс (f '(x) < 0).

3. Точки экстремума функции f(x) — это точки пересечения графика f '(x) с осью Ox. Если производная меняет знак с плюса на минус при движении слева направо, то это точка максимума. Если с минуса на плюс — точка минимума.

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если на всем рассматриваемом промежутке выполняется равенство F'(x) = f(x). Это означает, что свойства пары «F(x) и f(x)» абсолютно идентичны свойствам пары «f(x) и f '(x)». Следовательно, f(x) является производной для своей первообразной F(x).

Согласно формуле Ньютона — Лейбница, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b, вычисляется через разность значений первообразной на концах отрезка:

S = F(b) − F(a), где b > a
F '(x) = f(x)
Точки экстремума первообразной F(x) — это нули функции f(x)

В заданиях ЕГЭ часто дана формула первообразной F(x) и рисунок заштрихованной фигуры. Для нахождения площади достаточно определить по графику границы интегрирования a и b, после чего вычислить F(b) − F(a).

Пошаговый разбор реального прототипа задания 7

Рассмотрим типовую задачу из открытого банка ФИПИ. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [−3; 5].

Шаг 1. Выделяем заданный отрезок [−3; 5] на оси Ox.
Исключаем из рассмотрения все участки графика левее x = −3 и правее x = 5.

Шаг 2. Вспоминаем необходимое условие экстремума:
Экстремумы функции f(x) находятся в точках, где f '(x) = 0 и меняет знак.
На графике производной это точки пересечения с осью Ox.

Шаг 3. Находим нули производной на отрезке [−3; 5]:
График пересекает ось Ox в точках x₁ = −2, x₂ = 1, x₃ = 4.
В каждой из этих точек график переходит из одной полуплоскости в другую.

Шаг 4. Считаем количество найденных точек:
Всего 3 точки экстремума на отрезке [−3; 5].
Ответ: 3

Как видишь, для решения задачи не потребовалось сложных вычислений — только знание определения и внимание к границам отрезка. Чтобы набить руку на подобных прототипах, открой практический тренажер и реши серию аналогичных номеров на время.

Что запомнить для успешного решения задания 7

Подведем итог: чтобы гарантированно забрать балл за задание 7, держи в голове четкий алгоритм самопроверки перед записью ответа в бланк:

1. Четко определи тип графика: дана функция y = f(x) или производная y = f '(x).

2. Ограничь график вертикальными линиями по краям заданного в вопросе отрезка.

3. Помни, что тангенс угла наклона касательной равен угловому коэффициенту k и значению f '(x₀).

4. Для нахождения площади фигуры по заданной первообразной используй разность S = F(b) − F(a).

Закрепи разобранную теорию прямо сейчас: переходи в личный кабинет и бесплатно реши 5 заданий по теме «Производная и первообразная», чтобы зафиксировать результат.