Задание 9: расчётные задачи

Что проверяет задание 9

Расчётные задачи в ЕГЭ по математике часто пугают длинным условием, хотя решение обычно строится по понятному алгоритму. Твоя цель — не угадать формулу, а перевести текст на язык величин, выбрать связь между ними и проверить результат. В этом разборе ты научишься находить процент, скорость, время, стоимость и объём, а также видеть лишние данные. После практики похожие задачи перестают выглядеть случайным набором чисел.

В задании могут встретиться бытовые сюжеты: покупка со скидкой, движение автомобиля, расход топлива, работа насоса, изменение цены или концентрации раствора. Сначала определи, что именно требуется найти. Затем выпиши известные величины с единицами измерения. Даже короткая запись часто сразу показывает нужную формулу.

Удобно держать в голове общий порядок: прочитай вопрос, обозначь неизвестное, приведи единицы к единому виду, составь выражение, выполни вычисления и оцени ответ. Если в условии есть километры и минуты, их нельзя бездумно подставлять в формулу скорости. Сначала выбери согласованные единицы.

Базовые зависимости и единицы

Для задач на движение используй формулу пути: расстояние равно скорости, умноженной на время. Отсюда скорость равна расстоянию, делённому на время, а время — расстоянию, делённому на скорость. Если скорость дана в километрах в час, время должно быть в часах. Напомним: 30 минут — это 0,5 часа, а 15 минут — 0,25 часа.

В задачах на стоимость цена покупки находится умножением цены одной единицы на количество. При скидке 20% покупатель платит 80% исходной цены. При наценке 20% новая цена составляет 120% прежней. Проценты удобно переводить в десятичную дробь: ¾ = 0,75, 2⅓ = 2,333…

Для площади прямоугольника применяй S = a × b, для объёма прямоугольного параллелепипеда — V = a × b × c. Площадь круга равна πr², а длина окружности — 2πr. В ответе внимательно смотри на единицы: площадь выражается в квадратных единицах, объём — в кубических.

Сюжет	Основная связь	Проверка единиц
Движение	s = v × t	км, км/ч, ч
Стоимость	C = p × n	рубли, руб./ед., ед.
Проценты	новое = старое × коэффициент	20% → 0,2
Объём	V = a × b × c	см³, м³

Алгоритм решения по шагам

Шаг 1. Составь короткую модель задачи. Например, если товар стоил p рублей, а скидка составила q%, то заплатить нужно p × (1 − q/100). Не обязательно сразу подставлять числа: буквенная запись помогает не перепутать величины.

Шаг 2. Проверь единицы. Скорость 72 км/ч можно перевести в 20 м/с, потому что 72 × 1000 ÷ 3600 = 20. Не смешивай метры с километрами или минуты с часами. Шаг 3. Выполни вычисления аккуратно, сохраняя промежуточные значения. Округляй только тогда, когда это разрешено условием или требуется для ответа.

Шаг 4. Проверь смысл результата. После скидки цена не должна стать больше исходной, время не может быть отрицательным, а расход при увеличении числа поездок обычно возрастает. Если получилась странная величина, вернись к единицам и знакам в формуле.

Для самостоятельной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете: решай задачи небольшими сериями и отмечай, на каком шаге появилась ошибка.

Разобранный пример

Рассмотрим задачу на движение. Автомобиль проехал 180 км со скоростью 60 км/ч. Сколько времени заняла поездка? Здесь известны расстояние и скорость, значит, требуется найти время. Используем зависимость t = s ÷ v. Обе величины уже согласованы: расстояние дано в километрах, скорость — в километрах в час.

Дано: s = 180 км, v = 60 км/ч
Формула: t = s ÷ v
Подстановка: t = 180 ÷ 60 = 3 ч
Ответ: 3 часа

Проверка обратным действием: 60 км/ч × 3 ч = 180 км. Значит, ответ согласуется с условием. Если бы вопрос просил указать время в минутах, нужно было бы перевести результат: 3 × 60 = 180 минут.

Теперь представь небольшое изменение: автомобиль сделал остановку на 20 минут. Время движения осталось 3 часа, а общее время поездки стало 3 часа 20 минут. Нельзя прибавлять 20 к числу 3 без пояснения единиц: сначала переведи 20 минут в часы или весь результат в минуты.

Такой способ подходит и для обратных задач. Если известно общее расстояние и время, находишь скорость. Если известны скорость и время, находишь расстояние. Меняется только неизвестная величина, а логика остаётся прежней.

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — неверно прочитанный процент. Скидка 15% означает, что вычитается 15% цены, а не 15 рублей. Вторая — последовательные изменения. Снижение на 20%, а затем повышение на 20% не возвращает исходную цену: сначала действует коэффициент 0,8, затем 1,2, их произведение равно 0,96.

Третья ошибка — использование округлённого числа слишком рано. Если промежуточный результат 2,666…, не заменяй его на 3, когда дальнейшее умножение влияет на ответ. Четвёртая — потеря части условия: например, при совместной работе учитывают не только производительность одного исполнителя, но и время выполнения.

Перед выбором ответа оцени порядок величины. Если поездка длиной 240 км при скорости 80 км/ч заняла 30 часов, очевидно, что перепутано умножение и деление: разумный результат — 3 часа. Такая проверка занимает секунды и спасает от вычислительной ошибки.

Если хочешь системно повторить темы перед экзаменом, используй подборку заданий ЕГЭ и решай их с таймером только после того, как уверенно выполняешь алгоритм без спешки.

Что запомнить

Расчётная задача начинается не с калькулятора, а с модели. Определи неизвестное, выпиши данные, приведи единицы, выбери формулу и только потом считай. Для движения держи тройку s = v × t, для стоимости — цена умножить на количество, для процентов — исходное значение умножить на коэффициент изменения.

Проверяй два пункта: соответствует ли ответ единицам и имеет ли он смысл. Скидка уменьшает цену, скорость при фиксированном расстоянии влияет на время обратно, а площадь и объём требуют соответствующих степеней единиц. Ошибки чаще возникают не в сложной математике, а в чтении условия.

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения коротко отметь, что было трудным: перевод единиц, проценты, формула или вычисления. Так ты будешь исправлять конкретный навык, а не просто решать наугад.