Задания на графы в ОГЭ

Что такое графы и зачем они нужны в ОГЭ

Задания на графы в ОГЭ часто пугают несложным рисунком: кружки, линии и несколько чисел. Но ошибка обычно появляется не в вычислениях, а в спешке: школьник путает вершины и рёбра, считает путь не из того пункта или складывает лишнее. В этом разделе разберём понятный алгоритм, чтобы ты уверенно читал схему, находил нужный маршрут и проверял ответ.

Граф — это модель объектов и связей между ними. Объекты называются вершинами, а связи между ними — рёбрами. Например, вершины могут обозначать города, а рёбра — дороги между ними. Если на ребре указано число, это его вес: расстояние, стоимость, время или другой параметр.

В ОГЭ встречаются схемы дорог, компьютерных сетей, станций метро и логистических маршрутов. Нужно определить длину пути, сравнить варианты или восстановить пропущенное значение. Математика здесь нужна прежде всего для аккуратного сложения и сравнения.

Как читать граф по шагам

Сначала внимательно определи, что обозначают вершины и рёбра. Подписи возле кружков обычно являются названиями пунктов, а числа возле линий — длинами соединений. Не перепутай число у вершины с числом у ребра: это разные данные.

Затем найди начальную и конечную вершины. Если в условии сказано «из A в D», маршрут должен начинаться именно в A и завершаться именно в D. Промежуточные вершины можно проходить только по существующим рёбрам.

После этого выпиши все подходящие маршруты или исследуй схему последовательно. Для каждого маршрута складывай веса рёбер, а затем сравни получившиеся суммы. Если спрашивают кратчайший путь, выбирай наименьшую сумму; если требуется самый длинный — наибольшую.

Элемент	Что означает	Что проверить
Вершина	Объект или пункт	Название и положение на схеме
Ребро	Связь между вершинами	Можно ли по нему пройти
Вес	Длина, время или стоимость	К какому ребру относится число

Если нужен только ответ, не обязательно строить сложный алгоритм: на небольшом графе достаточно перечислить варианты на черновике.

Разобранный пример

Рассмотрим типичную задачу. Даны пункты A, B, C, D и E. Нужно найти кратчайшее расстояние от A до E. На схеме указаны дороги: A–B — 7, A–C — 3, B–C — 2, B–D — 4, C–D — 6, C–E — 9, D–E — 5.

Начнём с перечисления маршрутов, которые не повторяют вершины без необходимости. Прямого ребра A–E нет, поэтому сначала нужно попасть в B или C. Через B возможны пути A–B–D–E и A–B–C–E. Через C можно пройти A–C–E или A–C–D–E. Считаем каждую сумму и выбираем минимальную.

\( A–B–D–E: 7 + 4 + 5 = 16 \)
\( A–B–C–E: 7 + 2 + 9 = 18 \)
\( A–C–E: 3 + 9 = 12 \)
\( A–C–D–E: 3 + 6 + 5 = 14 \)
Кратчайший путь: A–C–E
Ответ: 12

Обрати внимание: маршрут A–C–D–E выглядит длиннее по числу рёбер, но его сумма равна 14. В задаче важна не длина маршрута в шагах, а сумма весов. Если бы спрашивали количество дорог, тогда ответом было бы число рёбер, а не расстояние.

Для тренировки можно решить несколько похожих задач в бесплатной практике в личном кабинете, каждый раз записывая не только ответ, но и сам маршрут.

Типичные ошибки и проверка ответа

Первая ошибка — считать все числа, которые видны рядом с нужными вершинами. Число имеет значение только тогда, когда оно относится к выбранному ребру. Вторая — идти по диагонали или через пересечение линий, хотя соединения там нет. Пересечение двух рёбер не образует вершину, если отдельная точка не обозначена.

Третья ошибка — искать самый короткий путь по количеству переходов. Маршрут из двух дорог может оказаться дороже маршрута из трёх. Поэтому всегда складывай веса. Четвёртая — забывать направление. В обычной схеме дороги можно проходить в обе стороны, но в условии может быть задано одностороннее движение стрелками.

Проверяй себя тремя вопросами: начинается ли маршрут в нужной вершине, заканчивается ли в нужной, существуют ли все выбранные рёбра? Затем пересчитай сумму другим способом. Если ответ вводится числом, не добавляй единицы измерения, если они не требуются.

Если вариантов много: удобная стратегия

Когда граф небольшой, перечисление маршрутов работает быстро. Но если вершин больше, используй таблицу расстояний. Запиши для стартовой вершины 0, для соседних — веса рёбер, а затем постепенно уточняй значения для остальных вершин.

Например, если до C из A можно попасть напрямую за 3, а через B — за 9, оставь 3. Если позже найдётся маршрут ещё короче, замени значение. Такой принцип называется поиском кратчайшего пути; на уровне ОГЭ достаточно применять его вручную.

Полезно выделять найденные минимальные значения и не возвращаться к заведомо более дорогому варианту. Однако не удаляй путь только потому, что он содержит больше рёбер: сравнивай именно итоговые суммы. Для задач на максимальный путь действуй аналогично, только выбирай большее значение, если условие не ограничивает повторение вершин.

Закрепить этот алгоритм можно через практику с заданиями и проверкой ответа. Если хочешь повторить другие разделы экзамена, загляни в материалы по ОГЭ по информатике.

Что запомнить

Граф состоит из вершин и рёбер. Число возле ребра обычно обозначает его вес. Для поиска кратчайшего маршрута нужно выписать допустимые пути, сложить веса входящих в них рёбер и выбрать наименьшую сумму. Для самого длинного маршрута выбирают наибольшую, если это разрешено условием.

Не доверяй только внешнему виду схемы: проверяй направление стрелок, наличие соединения и значение каждого числа. Пересечение линий без отмеченной вершины не является остановкой. В черновике удобно записывать маршрут буквами и сумму отдельной строкой.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения объясни себе, почему выбранный маршрут допустим и почему другие варианты хуже. Так теория превращается в устойчивый навык.