Просто УрокТест · математика
Неравенства: метод рационализации
Отвечай кликом — после каждого вопроса пояснение. 10 вопросов, 4 варианта, 3–5 минут. Без таймеров и регистрации.
Отвечено 0 из 10 · Верно: 0
1/10
Какое неравенство равносильно неравенству log_2 x > 0 на области определения?
Пояснение. log_2 x > log_2 1, поэтому по методу рационализации получаем (2-1)(x-1)>0. С учётом ОДЗ x>0 это даёт x>1.
2/10
Для a>0, a≠1 неравенство log_a f(x) ≥ log_a g(x) при f(x)>0 и g(x)>0 равносильно:
Пояснение. Разность log_a f(x)-log_a g(x) имеет тот же знак, что и (a-1)(f(x)-g(x)). Поэтому при знаке ≥ получаем указанное неравенство.
3/10
Решите неравенство log_{0.3}(x+2) < log_{0.3}(2x-1).
Пояснение. ОДЗ: x>0,5. Основание 0,3<1, поэтому знак неравенства меняется: x+2>2x-1, откуда x<3. Ответ: (0,5;3).
4/10
Решите неравенство log_{1/2}(x-1) ≥ -1.
Пояснение. Запишем -1=log_{1/2}2. Основание меньше 1, поэтому x-1≤2, то есть x≤3. С учётом ОДЗ x>1 получаем (1;3].
5/10
Какое неравенство получается после рационализации неравенства (1/3)^{x^2-4} ≥ (1/3)^x?
Пояснение. Для a^f ≥ a^g знак определяется выражением (a-1)(f-g). Здесь a-1<0, поэтому неравенство сводится к x^2-4≤x, то есть x^2-x-4≤0.
6/10
Решите неравенство log_3(x-2) ≤ 1.
Пояснение. Запишем 1=log_3 3. Основание больше 1, поэтому x-2≤3, то есть x≤5. С учётом ОДЗ x>2 получаем (2;5].
7/10
При рационализации неравенства log_{x-1}(x+5) > 0 при допустимых x получаем:
Пояснение. log_h f > 0 равносильно (h-1)(f-1)>0 при h>0, h≠1, f>0. Здесь h=x-1, f=x+5, поэтому получаем (x-2)(x+4)>0.
8/10
Решите неравенство log_{0.5}(x^2-1) > log_{0.5}(x+5).
Пояснение. ОДЗ: x^2-1>0 и x+5>0. Основание меньше 1, поэтому x^2-1<x+5, откуда -2<x<3. Пересечение с ОДЗ даёт (-2;-1)∪(1;3).
9/10
Какое условие обязательно входит в область допустимых значений при рационализации log_a f(x) < log_a g(x)?
Пояснение. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительны: f(x)>0 и g(x)>0. Это учитывается до применения рационализации.
10/10
Решите неравенство 2^{x+1} > 2^{3x-2}.
Пояснение. Основание 2>1, поэтому сравниваем показатели: x+1>3x-2. Отсюда 2x<3, то есть x<1,5.
Важно. Тесты носят информационно-образовательный характер и не являются публичной офертой (ст. 437 ГК РФ) или аттестацией. Возможны неточности — сверяйтесь с официальными источниками (ФИПИ, учебники). Заметили ошибку — напишите нам.