Числительные и порядковые на ЕГЭ

Числительные и порядковые на ЕГЭ: что проверяют

Ошибки в числительных часто появляются не из-за сложной математики, а из-за спешки: перепутал разряд, неверно прочитал запись, потерял единицу измерения или неправильно округлил результат. На ЕГЭ важно не только получить число, но и записать его в нужном виде. В этом разборе ты научишься различать количественные и порядковые числительные, работать с разрядами, дробями, процентами и степенями, а затем проверять ответ без лишних вычислений.

Количественное числительное отвечает на вопрос «сколько?»: 7, 24, 300, 2⅓. Порядковое отвечает на вопрос «который по счёту?»: 7-й, 24-й, 300-й. В заданиях ЕГЭ порядковое числительное обычно связано с номером элемента, местом в последовательности или номером члена прогрессии.

Главное правило: сначала определи, что именно обозначает число в условии, и только потом выбирай формулу. Число предметов, величина, процент и номер объекта требуют разных действий.

Разряды числа и запись ответа

Любое целое число удобно разложить по разрядам. Например, в числе 4 306 цифра 4 обозначает тысячи, 3 — сотни, 0 — десятки, 6 — единицы. Такое разложение помогает не ошибиться при чтении больших чисел и при сравнении результатов.

4 306 = 4 × 1000 + 3 × 100 + 0 × 10 + 6
72 000 = 7 × 10 000 + 2 × 1000

Если в задаче сказано «увеличить число на 15», нужно прибавить 15. Если сказано «увеличить число в 15 раз», нужно умножить на 15. Аналогично, «уменьшить на 8» и «уменьшить в 8 раз» — разные операции.

Формулировка	Действие	Пример
увеличить на a	прибавить a	12 + a
увеличить в a раз	умножить на a	12 × a
уменьшить на a	вычесть a	12 − a
уменьшить в a раз	разделить на a	12 : a

В ответе сохраняй требуемый формат: целое число, десятичную дробь или обыкновенную дробь. Если нужна точность, смотри, до какого разряда требуется округление.

Порядковые числительные и последовательности

Порядковое числительное показывает положение объекта среди других: первый, второй, десятый, двадцать третий. В математических задачах оно часто встречается в выражениях «n-й член», «первый член», «номер строки» или «седьмой шаг». Буква n обозначает произвольный номер, а не конкретное число.

Для арифметической прогрессии используют формулу n-го члена:

aₙ = a₁ + (n − 1) · d
где a₁ — первый член, d — разность, n ≥ 1

Почему появляется n − 1? От первого члена до него нет переходов. До второго — один переход, до третьего — два. Поэтому, чтобы найти седьмой член, нужно умножить разность на 6, а не на 7.

Для геометрической прогрессии правило другое:

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
где b₁ — первый член, q — знаменатель прогрессии

Дроби, проценты и смешанные числа

На экзамене встречаются записи вроде ¾, 2⅓ и 0,75. Перед вычислениями полезно привести их к одному виду. Смешанное число состоит из целой и дробной частей, поэтому его можно представить как неправильную дробь.

2⅓ = (2 × 3 + 1) : 3 = 7⁄3
¾ = 0,75
p процентов = p⁄100

Чтобы найти p процентов от числа A, умножь A на p⁄100. Чтобы увеличить A на p процентов, умножай на 1 + p⁄100. При уменьшении используй 1 − p⁄100.

20% от 150 = 150 × 0,2 = 30
150 увеличить на 20% → 150 × 1,2 = 180
150 уменьшить на 20% → 150 × 0,8 = 120

Обрати внимание: увеличение на 20%, а затем уменьшение на 20% не возвращает исходное число. Сначала получится 1,2A, затем 1,2A × 0,8 = 0,96A. Итог меньше начального на 4%.

Если в условии есть единицы измерения, переводи их до вычислений: ¾ часа — это 45 минут, а 2⅓ метра — 2 м 33⅓ см.

Разобранный пример и типичные ошибки

Разберём задачу: первый член арифметической прогрессии равен 5, разность равна 3. Найди двадцатый член.

Дано: a₁ = 5, d = 3, n = 20
a₂₀ = a₁ + (20 − 1) · d
a₂₀ = 5 + 19 · 3
a₂₀ = 5 + 57 = 62
Ответ: 62

Сначала выписываем известные величины, затем выбираем формулу n-го члена. В скобках получается 19, потому что от первого до двадцатого члена 19 переходов. После вычисления можно проверить ответ: последовательность начинается с 5 и каждый раз увеличивается на 3, значит двадцатый член должен быть больше 5.

Другие типичные ошибки: перепутать процент с процентным коэффициентом, округлить слишком рано, потерять знак минус и записать порядковый номер вместо значения члена. Если требуется найти номер, формулу нужно решить относительно n, а не просто вычислить очередной член.

Что запомнить перед экзаменом

Количественное числительное отвечает на вопрос «сколько?», порядковое — «который по счёту?». В прогрессиях внимательно различай первый член и номер искомого члена. Для арифметической прогрессии используй aₙ = a₁ + (n − 1) · d, для геометрической — bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Проценты переводятся в коэффициенты: прибавление p% даёт множитель 1 + p⁄100, уменьшение — 1 − p⁄100.

Перед сдачей ответа проверь три вещи: соответствует ли число вопросу, сохранены ли единицы измерения и выполнено ли требуемое округление. Если хочется закрепить тему на практике, зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно. Затем можно перейти к другим материалам по подготовке к ЕГЭ и отметить ошибки, которые повторяются.

Короткая тренировка эффективнее перечитывания теории: реши несколько заданий разных типов, объясни каждый шаг словами и только потом сверяй ответ. Такой подход помогает увидеть, где именно возникла ошибка: в чтении условия, формуле или вычислениях.