Движение тела, брошенного под углом

1. Как устроено движение под углом

Задачи на тело, брошенное под углом к горизонту, часто кажутся сложными: нужно одновременно работать с движением по вертикали, горизонтали и тригонометрией. Но если разложить начальную скорость на две составляющие, решение становится понятным и почти алгоритмичным. В этой статье ты научишься находить время полёта, дальность, максимальную высоту и скорость в любой момент, а также увидишь типичный ход решения для ЕГЭ.

Рассмотрим тело, которое бросили с начальной скоростью v₀ под углом α к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, ускорение свободного падения считаем равным g ≈ 10 м/с². Горизонтальная составляющая скорости постоянна, а вертикальная постепенно уменьшается под действием силы тяжести.

\( v_0_x = v_0 \cdot \cos \alpha \)
\( v_0ᵧ = v_0 \cdot \sin \alpha \)
\( a_x = 0 \)
\( aᵧ = -g \)

Именно такое разделение движения на независимые направления является главным приёмом. В онлайн-практике в личном кабинете можно закрепить его на заданиях с разными исходными данными.

2. Уравнения координат и скорости

Выберем начало координат в точке броска, ось Ox направим горизонтально, а ось Oy — вертикально вверх. Тогда через время t координаты тела определяются формулами равноускоренного движения по вертикали и равномерного движения по горизонтали.

\( x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \)
\( y = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - g \cdot t^2 \div 2 \)
\( v_x = v_0 \cdot \cos \alpha \)
\( vᵧ = v_0 \cdot \sin \alpha - g \cdot t \)

По горизонтали координата увеличивается равномерно, поскольку ускорение равно нулю. По вертикали координата сначала растёт, затем после достижения вершины начинает уменьшаться. В верхней точке вертикальная скорость равна нулю, но горизонтальная составляющая всё ещё сохраняется.

Модуль полной скорости в любой момент можно найти по теореме Пифагора:

\( v = \sqrt{v_x^2 + vᵧ^2} \)

3. Время полёта, дальность и высота

Если тело приземляется на тот же уровень, с которого его бросили, время полёта находят из условия y = 0. Один корень t = 0 соответствует моменту броска, второй даёт продолжительность движения.

\( T = 2 \cdot v_0 \cdot \sin \alpha \div g \)

Дальность полёта L — это горизонтальная координата тела в момент приземления:

\( L = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot T \)
\( L = v_0^2 \cdot \sin 2\alpha \div g \)

Максимальная высота достигается, когда vᵧ = 0. Сначала найдём время подъёма, а затем подставим его в формулу координаты:

\( t_{\text{подъёма}} = v_0 \cdot \sin \alpha \div g \)
\( H = v_0^2 \cdot \sin ^2 \alpha \div 2g \)

При одинаковой начальной скорости наибольшая дальность в идеальной модели получается при α = 45°. Углы α и 90° − α дают одну и ту же дальность, но различную высоту и продолжительность полёта.

4. Типовая задача с решением

Тело бросили с поверхности земли со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найдём время полёта, дальность и максимальную высоту. Считаем g = 10 м/с², sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,87.

Дано:
\( v_0 = 20 \text{м/с} \)
\( \alpha = 30^\circ \)
\( g = 10 \text{\text{м/с}}^2 \)
Найти: T, L, H.

Решение:
T = 2 · 20 · 0,5 ÷ 10 = 2 с
L = 20 · 0,87 · 2 ≈ 34,8 м
H = 20² · 0,5² ÷ (2 · 10) = 5 м

Ответ: время полёта T = 2 с, дальность L ≈ 34,8 м, максимальная высота H = 5 м.

Обрати внимание: для дальности здесь можно использовать либо произведение горизонтальной скорости на время, либо готовую формулу. Первый способ удобнее, если угол или высота меняются и прямое применение формулы становится невозможным.

Величина	Формула	Единица
Время полёта	T = 2v₀ sin α ÷ g	с
Дальность	L = v₀² sin 2α ÷ g	м
Высота	H = v₀² sin² α ÷ 2g	м

5. Высота броска и частые ошибки

Если тело бросают не с земли, а с высоты h₀, начальная координата уже не равна нулю:

\( y = h_0 + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - g \cdot t^2 \div 2 \)

Время полёта теперь находят из условия y = 0, решая квадратное уравнение. Формула T = 2v₀ sin α ÷ g в такой ситуации обычно неприменима, потому что стартовая и конечная высоты различаются.

Самые частые ошибки — использовать градусы как радианы в калькуляторе, забывать квадрат у v₀ в формулах дальности и высоты, а также считать полной скоростью только вертикальную составляющую. Единицы тоже проверяй обязательно: скорость должна быть в м/с, высота и дальность — в метрах, ускорение — в м/с².

Для системной подготовки можно зарегистрироваться бесплатно и открыть практику: после каждого задания полезно отдельно проверять знаки, единицы и соответствие выбранной модели.

6. Что запомнить

Движение под углом удобно рассматривать как сумму двух независимых движений. По горизонтали тело движется равномерно со скоростью v₀ · cos α, по вертикали — с ускорением −g и начальной скоростью v₀ · sin α. Координаты задаются уравнениями x = v₀ · cos α · t и y = v₀ · sin α · t − g · t² ÷ 2.

Для броска и приземления на одном уровне используй формулы T = 2v₀ sin α ÷ g, L = v₀² sin 2α ÷ g и H = v₀² sin² α ÷ 2g. Если высоты различаются, составляй уравнение координаты и решай его относительно времени. Не забывай переводить величины в СИ и различать вертикальную и полную скорости.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Так ты проверишь, умеешь ли выбирать формулу, а не просто узнавать её в конспекте.