Просто УрокГеометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это про рост в разы, а не на сколько-то. Разбираем определение и знаменатель, формулы n-го члена и суммы, решаем две задачи по шагам и смотрим, где прогрессия встречается в жизни: от вкладов под проценты до удвоения клеток.
Что такое геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число. Это число называется знаменателем и обозначается q. Все члены прогрессии отличны от нуля, и знаменатель тоже.
\( bₙ₊_1 = bₙ \cdot q \)
Например, в последовательности 1, 2, 4, 8, 16 каждое число вдвое больше предыдущего: q = 2. Если знаменатель между нулём и единицей, прогрессия убывает: 100, 50, 25 — здесь q = 0,5. А если q отрицательный, знаки чередуются: 1, −2, 4, −8 — это тоже геометрическая прогрессия, с q = −2.
Знаменатель находят делением: раздели любой член прогрессии на предыдущий.
\( q = bₙ₊\dfrac{_1}{b}ₙ \)
Смысл темы — рост в разы: при q = 2 двадцать шагов увеличивают число более чем в миллион раз.
Формула n-го члена
Как и в арифметической прогрессии, выписывать члены подряд не нужно: n-й член находится одной формулой. Чтобы добраться от первого члена до n-го, нужно умножить на q, и таких умножений n − 1.
\( bₙ = b_1 \cdot qⁿ⁻^1 \)
- Пример: b₁ = 3, q = 2. Найди шестой член.
- Подставляем: b₆ = 3 · 2⁵.
- Считаем: 2⁵ = 32, значит b₆ = 96.
- Ответ: 96.
Проверь по цепочке: 3, 6, 12, 24, 48, 96 — шестой член действительно 96. Частая ошибка — взять qⁿ вместо qⁿ⁻¹: множителей на один меньше, чем номер члена.
Перед подстановкой выпиши в столбик b₁, q, n. Главные ловушки геометрической прогрессии — степень n − 1 вместо n и дробный или отрицательный q. Формула работает с любым знаменателем, кроме нуля.
Сумма первых n членов
Складывать члены по одному не нужно — есть формула суммы:
\( Sₙ = b_1 \cdot \dfrac{qⁿ - 1}{q - 1} \)
Она работает при любом знаменателе, кроме единицы. Если же q = 1, все члены одинаковые, и сумма равна b₁ · n.
- Пример: найди сумму первых 8 членов прогрессии 1, 2, 4, 8…
- Здесь b₁ = 1, q = 2. Подставляем: S₈ = (2⁸ − 1) / (2 − 1).
- Считаем: (256 − 1) / 1 = 255.
- Ответ: 255.
Если |q| < 1, прогрессию называют бесконечно убывающей: сумма всех её членов существует и равна b₁ / (1 − q). Так, 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1.
Две задачи по шагам
Задача 1. Вклад — 10 000 ₽ под 10% в год. Какая сумма будет на вкладе через 3 года?
- Каждый год сумма растёт на 10%, то есть умножается на 1,1 — множитель из задач на проценты.
- Значит, суммы по годам образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 10 000, q = 1,1.
- Через 3 года: 10 000 · 1,1³ = 10 000 · 1,331 = 13 310.
- Ответ: 13 310 ₽.
Задача 2. Клетка делится на две каждую минуту. Сколько клеток будет через 10 минут, если начать с одной?
- Количество клеток после каждой минуты: 2, 4, 8, 16… — геометрическая прогрессия с b₁ = 2, q = 2.
- Через 10 минут — десятый член: b₁₀ = 2 · 2⁹ = 2¹⁰.
- Ответ: 1024 клетки.
Обе задачи про одно: повторяющееся умножение — так растут вклады и колонии бактерий. По легенде, изобретатель шахмат попросил зёрна пшеницы: 1 на первую клетку, 2 на вторую, 4 на третью и так далее. Таких зёрен вышло бы больше, чем производит вся Земля, — вот насколько силён рост в разы.
Потренируй геометрическую прогрессию
В тренажёре ОГЭ выбери нужный номер, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Отличие от арифметической прогрессии
Путать прогрессии — классическая ошибка. В арифметической прогрессии к числу прибавляют одно и то же, в геометрической — умножают на одно и то же.
Сравни близнецов: 4, 8, 12, 16 и 4, 8, 16, 32. Первая последовательность арифметическая: разности соседей равны 4. Вторая геометрическая: частные соседей равны 2.
Тест за пять секунд: вычти двух соседей и раздели двух соседей. Совпали разности — прогрессия арифметическая, совпали частные — геометрическая. Прибавление фиксированной суммы — это линейный рост, как в линейных уравнениях, а процентный рост — умножение.
В задачах первым делом определяй тип роста: «на 5 больше» — арифметическая прогрессия, «в 2 раза больше» — геометрическая. Одна эта проверка убирает половину ошибок, потому что главный провал на экзамене — подставить данные не в ту формулу.
Геометрическая прогрессия — это умножение и рост в разы: знаменатель, формула n-го члена и формула суммы решают почти все задачи. Если ещё не читал, начни со статьи про арифметическую прогрессию — темы всегда идут в паре. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Что такое геометрическая прогрессия простыми словами?
Это последовательность, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число q — знаменатель. Например, 1, 2, 4, 8: здесь q = 2.
Что такое знаменатель геометрической прогрессии?
Это число q, на которое умножается каждый член: q = bₙ₊₁ / bₙ. В прогрессии 100, 50, 25 знаменатель равен 0,5, а в прогрессии 1, 2, 4 он равен 2.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
В геометрической умножают на одно и то же число, в арифметической прибавляют. Последовательность 4, 8, 16 — геометрическая (q = 2), а 4, 8, 12 — арифметическая (d = 4).
При чём тут проценты?
Рост на p% равносилен умножению на (1 + p / 100). Вклад 10 000 ₽ под 10% в год растёт как 10 000, 11 000, 12 100 — это геометрическая прогрессия со знаменателем 1,1.