Арифметическая прогрессия

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Это число называется разностью и обозначается d.

\( aₙ₊_1 = aₙ + d \)

Например, в последовательности 2, 7, 12, 17, 22 разность равна 5: каждое число больше предыдущего на пять. Если разность отрицательная, прогрессия убывает: 30, 27, 24, 21 — здесь d = −3. А при d = 0 все члены одинаковые, например 6, 6, 6, — формально это тоже арифметическая прогрессия.

Чтобы найти разность, вычти из любого члена прогрессии предыдущий:

\( d = aₙ₊_1 - aₙ \)

Главный признак арифметической прогрессии — рост на одну и ту же величину. Это линейная зависимость, та же, что у линейных уравнений: точки (n; aₙ) всегда лежат на одной прямой, а её наклон задаётся разностью d.

Формула n-го члена

Выписывать члены подряд долго, а на экзамене и не нужно: n-й член находят одной формулой. Идея простая: чтобы добраться от первого члена до n-го, нужно сделать n − 1 шаг, и на каждом шаге число увеличивается на d.

\( aₙ = a_1 + d(n - 1) \)

1. Пример: первый член a₁ = 2, разность d = 5. Найди десятый член.
2. Подставляем: a₁₀ = 2 + 5 · (10 − 1).
3. Считаем: a₁₀ = 2 + 45 = 47.
4. Ответ: 47.

Проверь по цепочке: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47 — десятый член действительно 47. Частая ошибка — умножить d на n вместо n − 1: шагов всегда на один меньше, чем номер члена.

Сумма первых n членов

Складывать члены по одному не нужно — есть формула, которая делает это мгновенно:

\( Sₙ = (a_1 + aₙ) \cdot \dfrac{n}{2} \)

А если последний член неизвестен, её преобразуют в другой вид:

\( Sₙ = (2a_1 + (n - 1) \cdot d) \cdot \dfrac{n}{2} \)

По легенде, эту идею в детстве открыл Гаусс: его попросили сложить числа от 1 до 100, и он ответил мгновенно. Пары 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 дают по 101, таких пар 50 — значит, сумма равна 5050. Формула делает ровно это: складывает первый член с последним и умножает на число пар.

Две задачи по шагам

Задача 1. Спортсмен тренируется 10 минут в первый день, а дальше каждый день занимается на 5 минут дольше. Сколько длится занятие на 14-й день?

1. Первый день — a₁ = 10, прирост — d = 5, нужен 14-й член.
2. По формуле n-го члена: a₁₄ = 10 + 5 · (14 − 1) = 10 + 65.
3. Ответ: 75 минут.

Задача 2. Сколько всего минут спортсмен потренирует за первые 14 дней?

1. Это сумма первых 14 членов той же прогрессии.
2. S₁₄ = (10 + 75) · 14 / 2 = 85 · 7.
3. Ответ: 595 минут — почти десять часов за две недели.

Обрати внимание, как формулы работают в паре: сначала нашли последний член, затем подставили его в сумму. Так устроено большинство задач на прогрессии.

Отличие от геометрической прогрессии

Обе прогрессии — про равномерное изменение, но механизм разный. В арифметической к числу прибавляют одно и то же, а в геометрической прогрессии — умножают на одно и то же число.

Сравни двух близнецов: 4, 8, 12, 16 и 4, 8, 16, 32. Первая последовательность — арифметическая: разность везде равна 4. Вторая — геометрическая: каждое число в два раза больше предыдущего.

Быстрая проверка: вычти двух соседей. Если разности совпадают — перед тобой арифметическая прогрессия. Раздели двух соседей: совпали частные — значит, геометрическая.

Разница видна и на деньгах: если счёт пополняется на 100 ₽ каждый месяц, это арифметическая прогрессия, а если сумма растёт на 10% в месяц, то есть умножается на 1,1, — уже геометрическая. Подробно про процентный рост мы писали в статье про задачи на проценты.

Прогрессии — приятная тема: две формулы и внимательность решают всё. Дальше логично изучить геометрическую прогрессию — в задачах она всегда ходит в паре с арифметической. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.