Квадратные уравнения: как решать через дискриминант

Какие уравнения называются квадратными

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0: слева многочлен второй степени, справа ноль. Числа a, b и c называют коэффициентами, причём важно видеть их вместе со знаками: в уравнении 2x² − 5x − 3 = 0 коэффициенты a = 2, b = −5, c = −3.

ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0

Если a = 0, уравнение линейное и решается обычным способом — дальше предполагаем, что a не ноль.

Дискриминант: три случая

Дискриминант показывает, сколько у уравнения корней, ещё до того, как ты их нашёл:

\( D = b^2 - 4ac \)

Дальше три случая, и их полезно выучить как таблицу:

1. D > 0 — два корня: x = (−b ± √D) / (2a).
2. D = 0 — один корень: x = −b / (2a).
3. D < 0 — корней нет: квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Формула корней одна и та же, меняется только знак под корнем, поэтому алгоритм одинаковый: выписать коэффициенты, посчитать D и лишь потом искать корни.

Разбор примера по шагам

Решим уравнение 2x² − 5x − 3 = 0 и посмотрим, как алгоритм работает целиком:

1. Выписываем коэффициенты: a = 2, b = −5, c = −3.
2. Считаем дискриминант: D = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49.
3. Извлекаем корень: √D = 7.
4. Подставляем в формулу: x = (5 ± 7) / 4.
5. Получаем два корня: x₁ = 3, x₂ = −0,5.

\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

Обрати внимание на четвёртый шаг: −b = −(−5) = 5, поэтому в числителе стоит 5 ± 7, а не −5 ± 7. Знак перед b в формуле корней всегда противоположен знаку самого коэффициента — именно здесь чаще всего теряют баллы.

Неполные квадратные уравнения

Если в уравнении пропущен свободный член c или коэффициент b, быстрее решить напрямую. Есть два вида неполных уравнений.

Вид ax² + bx = 0 (нет c). Выносим x за скобку: x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:

x(ax + b) = 0 → x = 0 или x = −ba

Вид ax² + c = 0 (нет b). Переносим c вправо и делим на a: x² = −c/a. Если правая часть неотрицательна, извлекаем корень и получаем два корня с противоположными знаками:

\( x^2 = -\dfrac{c}{a} \to x = \pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}} \)

Если же −c/a отрицательно, корней нет. Различай эти два вида: они встречаются в первой части ОГЭ как отдельные задания, и решаются в три действия вместо шести.

Теорема Виета для проверки

Теорема Виета связывает корни приведённого квадратного уравнения с коэффициентами. Она работает и для общего случая, если делить на a:

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

Проверим на нашем примере 2x² − 5x − 3 = 0 с корнями 3 и −0,5:

1. Сумма: 3 + (−0,5) = 2,5 и −b/a = −(−5)/2 = 2,5 — сходится.
2. Произведение: 3 · (−0,5) = −1,5 и c/a = −3/2 = −1,5 — сходится.

Такая проверка занимает секунд двадцать и сразу показывает, если корень найден неверно. На экзамене — это самый дешёвый способ спасти балл, а при решении текстовых задач Виета помогает угадать корни в уме ещё до полного решения.

Типичные ошибки

На квадратных уравнениях баллы теряют предсказуемо. Вот четыре самые частые ошибки:

• Потерять знак b. В формуле стоит −b: если b = −5, то −b = 5. Знак всегда меняется на противоположный.
• Забыть разделить на 2a. Числитель (−b ± √D) — это ещё не ответ: корни появляются только после деления.
• Считать D при отрицательном b без скобок: (−5)² = 25, а −5² = −25. Возводи в квадрат всё выражение целиком.
• Заявить «нет корней» при D = 0. Корень есть — один: x = −b/(2a). Нет корней только при D < 0.

Квадратные уравнения — фундамент алгебры: они появляются внутри задач на движение и работу, а дальше — в графиках параболы. Дальше по подготовке помогут план подготовки к ОГЭ и статья про задачи на смеси и сплавы — ещё один тип задач, где уравнение составляется по условию. Теорию по смежным темам удобно повторять в справочнике теории, а рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.