ЕГЭ задание 2: вероятность: разбор с решением

Задание 2 ЕГЭ: что проверяют

Вероятность в задании 2 часто кажется случайным набором правил: нужно выбрать формулу, посчитать исходы и не запутаться в условиях. На деле достаточно увидеть модель задачи. В этом разборе ты научишься находить число благоприятных исходов, общее число равновозможных исходов и записывать ответ без лишних действий.

Главная формула выглядит так: вероятность события равна отношению числа подходящих исходов к числу всех исходов. Сначала выпиши, что считается случайным опытом. Затем определи событие и проверь, действительно ли все исходы равновозможны.

P(A) = число благоприятных исходов ÷ число всех исходов
0 ≤ P(A) ≤ 1
Пример: в коробке 3 красных и 2 синих шара. P(красный) = 3 ÷ 5 = 0,6

Типичная ошибка — складывать количество предметов разных групп вместо подсчёта общего числа. Здесь всего 5 шаров, а не 3 + 2 как отдельные варианты действий. Если нужна дополнительная тренировка базовых рассуждений, посмотри материал по повторению заданий ОГЭ 9–10.

События и противоположное событие

Иногда проще найти вероятность не самого события, а противоположного. Если событие A означает «выпало число больше 2», противоположное событие означает «выпало число не больше 2». Их вероятности в сумме дают единицу: P(A) + P(не A) = 1.

Рассмотрим игральный кубик. Событие «выпало чётное число» включает 2, 4 и 6, поэтому его вероятность равна 3 ÷ 6 = 0,5. Событие «выпало нечётное число» включает 1, 3 и 5 и имеет ту же вероятность.

Кубик: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Чётные исходы: 2, 4, 6
P(чётное) = 3 ÷ 6 = ½
P(нечётное) = 1 − ½ = ½

Полезно выбирать короткий путь. Например, вероятность «не выпало 6» равна 1 − 1 ÷ 6 = 5 ÷ 6, а не требует перечисления пяти исходов. Ошибка возникает, когда ученик путает «не больше» и «меньше»: число 3 не больше 3, но не меньше 3.

Разобранный пример с решением

Задача: в урне находятся 4 белых, 3 чёрных и 5 красных шаров. Наугад достают один шар. Найди вероятность того, что он окажется не чёрным. Разберём решение полностью, чтобы увидеть универсальный алгоритм.

Шаг первый: считаем все шары. Их 4 + 3 + 5 = 12. Шаг второй: определяем благоприятные исходы. Не чёрный шар — это белый или красный, значит, подходящих шаров 4 + 5 = 9. Шаг третий: делим 9 на 12 и сокращаем дробь.

Всего шаров: 4 + 3 + 5 = 12
Благоприятных: 4 + 5 = 9
P(не чёрный) = 9 ÷ 12 = ¾
Ответ: ¾

Можно решить через противоположное событие: P(не чёрный) = 1 − P(чёрный) = 1 − 3 ÷ 12 = ¾. Оба способа верны. Типичная ошибка — взять в знаменателе 9, потому что это число подходящих шаров. В знаменателе всегда стоят все равновозможные исходы.

Независимые события и умножение вероятностей

Если выполняются два независимых действия, вероятность одновременного наступления событий находят умножением. Например, монету подбрасывают дважды. Вероятность орла при одном броске равна ½. Вероятность получить орла оба раза равна ½ · ½ = ¼.

Независимость означает, что результат первого действия не меняет условия второго. Подбрасывание монеты подходит. А вот вытаскивание двух шаров без возвращения обычно зависимо: после первого выбора состав урны меняется.

P(орёл и орёл) = ½ · ½ = ¼
Четыре равновозможных результата: ОО, ОР, РО, РР
Подходящий результат: только ОО

Например, вероятность дважды выбрать красный шар с возвращением из коробки, где 2 красных и 3 синих, равна ⅖ · ⅖ = 4⁄25. Возвращение сохраняет состав коробки. Ошибка — умножать вероятности без проверки независимости. Если шар не возвращают, вторую вероятность нужно пересчитать.

Как решать быстро и без потерь

На экзамене сначала прочитай вопрос до конца. Слова «хотя бы один», «не менее», «не больше», «ровно» задают разные события. Затем выпиши маленький список исходов или нарисуй дерево вариантов, если действий несколько.

Пример: монету бросают два раза. Вероятность получить хотя бы один орёл удобнее искать через противоположное событие. Не получить орла можно только при результате РР, его вероятность равна ¼. Значит, искомая вероятность равна 1 − ¼ = ¾.

P(хотя бы один орёл) = 1 − P(ни одного орла)
P(РР) = ½ · ½ = ¼
P = 1 − ¼ = ¾

Проверяй ответ здравым смыслом: вероятность не может быть отрицательной или больше единицы. Если событие кажется частым, результат вроде ⅒ требует перепроверки. Нельзя округлять слишком рано, особенно когда ответ удобно оставить дробью. Для самостоятельной работы с дробями пригодится разбор рациональных дробей. Бесплатные похожие задания можно решать в личном кабинете, сохраняя ошибки для повторения.

Что запомнить перед практикой

Алгоритм задания 2 короткий: определи случайный опыт, посчитай все исходы, выдели благоприятные, составь отношение и проверь диапазон от 0 до 1. Для противоположного события используй правило 1 − P. Для независимых последовательных действий перемножай вероятности, но только после проверки условий.

Мини-пример для самопроверки: в наборе 7 карточек, из них 2 с буквой А. Вероятность выбрать карточку без А равна 5 ÷ 7. Если карточку возвращают и выбирают дважды, вероятность два раза получить А равна 2⁄7 · 2⁄7 = 4⁄49.

Без А: 1 − 2 ÷ 7 = 5 ÷ 7
Две А с возвращением: 2⁄7 · 2⁄7 = 4⁄49
Проверка: 0 ≤ 4⁄49 ≤ 1

Частая финальная ошибка — записать только число без понимания события или перепутать знаменатель. Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете, а затем разберись с каждым неверным шагом.