Просто УрокОГЭ: повторение задания 9–10
Разберём «ОГЭ: повторение задания 9–10» так, чтобы тема наконец встала на место: короткая теория, наглядный пример, алгоритм и ошибки, на которых теряют баллы. В конце — что запомнить и где закрепить на практике.
Что проверяют задания 9–10
Задания 9–10 на ОГЭ по математике часто становятся причиной досадных потерь: формула вроде знакома, но в условии легко перепутать данные, знак или единицы измерения. Здесь важно не угадывать ответ, а спокойно распознавать тип задачи и действовать по алгоритму. В этом разборе ты повторишь проценты, пропорции, степени, корни и вычисления с числами, а затем увидишь, как проверять результат перед записью в ответ.
В заданиях 9–10 обычно требуется выполнить несколько последовательных действий: понять, что дано, выбрать подходящую модель, подставить числа и округлить либо записать результат в нужном виде. Даже если задача кажется простой, черновик помогает не держать все шаги в голове. Отдельно следи за вопросом: найти могут не всю величину, а её часть, изменение или отношение.
Если нужно освежить предыдущие вычислительные навыки, загляни в материал по заданиям 5–6, а правила работы с выражениями повтори в статье по заданиям 7–8.
Проценты, доли и пропорции
Процент — это одна сотая часть числа: 1% = 1⁄100. Чтобы найти p% от числа a, умножь a на p⁄100. Чтобы узнать, сколько процентов число b составляет от a, раздели b на a и умножь результат на 100%. Важно не смешивать эти два действия: в первом случае ищется часть, во втором — отношение.
При увеличении числа на p% новый результат равен a · (1 + p⁄100), а при уменьшении — a · (1 − p⁄100). Последовательные изменения нельзя просто складывать, если проценты считаются каждый раз от нового значения.
25% от 240 = 240 · 25⁄100 = 60
240 увеличили на 15%: 240 · 1,15 = 276
240 уменьшили на 15%: 240 · 0,85 = 204
В пропорции a⁄b = c⁄d произведение крайних членов равно произведению средних: a · d = b · c. Перед вычислением проверь, сопоставимы ли величины: рубли с рублями, километры с километрами, минуты с минутами. Если единицы разные, сначала переведи их.
Степени, корни и порядок действий
В заданиях 9–10 встречаются выражения со степенями и квадратными корнями. Степень показывает, сколько раз множитель повторяется: a² = a · a. Правило произведения степеней с одинаковым основанием: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При делении показатели вычитаются, если основание не равно нулю: aᵐ⁄aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Квадратный корень √a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √49 = 7, а не ±7. Знак ± появляется, когда решают уравнение x² = 49: тогда x = 7 или x = −7. Сначала выполняй действия в скобках, затем степени и корни, потом умножение и деление, после этого сложение и вычитание.
\( \sqrt{8}1 = 9 \)
\( 2^3 \cdot 2^2 = 2^5 = 32 \)
\( 18 - 2 \cdot (3 + 4) = 18 - 14 = 4 \)
Если выражение выглядит длинным, перепиши его по действиям. Одна строка — одно преобразование. Так ты сразу увидишь, где появился неверный знак или потерялась скобка.
Разобранный пример
Рассмотрим задачу: цена товара была 800 рублей. Сначала её увеличили на 10%, а затем новую цену уменьшили на 10%. Какой стала цена? На первый взгляд кажется, что изменения взаимно уничтожатся, но это неверно: вторые 10% считаются уже от другой суммы.
1) После увеличения: 800 · 1,1 = 880 рублей
2) После уменьшения: 880 · 0,9 = 792 рубля
3) Ответ: 792 рубля
Разберём смысл вычислений. Множитель 1,1 означает исходные 100% плюс 10%, то есть 110%. Множитель 0,9 означает, что после уменьшения остаётся 90% от новой цены. Итоговая цена меньше исходной на 8 рублей, или на 1%. Можно проверить решение одной записью: 800 · 1,1 · 0,9 = 792.
Ответ записывай с единицей измерения, если она нужна по условию. В тестовой части отдельно проверь, требуется ли целое число, десятичная дробь или округление. Если округление не указано, не выполняй его самостоятельно.
Для дополнительной тренировки процентных моделей используй материал «Задачи на проценты». После разбора удобно перейти в личный кабинет с бесплатной практикой и сразу решить несколько похожих примеров.
Типичные ошибки и самопроверка
Первая ошибка — найти процент от неправильной величины. В задаче с последовательным изменением второе действие выполняется от уже изменённого числа. Вторая — перепутать 15% и 0,15: процент перед вычислением нужно перевести в десятичную дробь. Третья — неправильно раскрыть порядок действий или забыть скобки.
Четвёртая ошибка относится к корням: √a не равен отрицательному числу, а √(a²) = |a|. Пятая — смешение единиц. Например, 2⅓ часа — это 2 часа 20 минут, а не 2 часа 33 минуты. Перед ответом оцени его разумность: после скидки цена должна уменьшиться, а после увеличения — вырасти.
| Ситуация | Действие | Проверка |
|---|---|---|
| p% от a | a · p⁄100 | часть меньше целого |
| увеличение на p% | a · (1 + p⁄100) | результат больше a |
| уменьшение на p% | a · (1 − p⁄100) | результат меньше a |
| квадратный корень | √a | квадрат ответа равен a |
Увеличение на 20%, а затем уменьшение на 20% не возвращает исходное число: множители равны 1,2 и 0,8, а их произведение равно 0,96.
Что запомнить
Для заданий 9–10 держи в памяти четыре опоры. Процент переводится в дробь через деление на 100. Изменение величины удобно записывать множителем: 1 + p⁄100 или 1 − p⁄100. В выражениях соблюдай порядок действий, а квадратный корень понимай как неотрицательное число. Наконец, проверяй единицы, знак и примерный размер ответа.
Рабочий алгоритм простой: прочитай вопрос, выпиши данные, обозначь неизвестное, выбери формулу, выполни вычисления по строкам и оцени результат. Такой порядок особенно полезен, когда условие содержит несколько изменений или лишнюю информацию.
Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого ответа возвращайся к ошибке и отмечай её причину: формула, вычисление, знак, единицы или невнимательность. Так повторение превращается в устойчивый навык.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько задач разных типов: одну на процент от числа, одну на последовательное изменение, одну со степенями или корнями. Для каждой запиши не только ответ, но и короткий алгоритм. Затем проверь результат обратным действием и объясни вслух, почему выбранная формула подходит.
Можно ли складывать проценты при двух изменениях?
Обычно нельзя. Второе изменение считается от новой величины, поэтому используй последовательные множители. Складывать проценты можно только в специальных случаях, когда это прямо следует из условия.
Как не ошибиться в вычислениях?
Разделяй решение на короткие строки, не пропускай промежуточные значения и делай прикидку ответа. Если цена после скидки стала больше исходной, значит, где-то допущена ошибка.
Что делать, если не узнаю тип задания?
Выдели величины и вопрос задачи. Определи, ищется ли часть, целое, процент, изменение или значение выражения. После этого подбери действие и проверь единицы. Несколько тренировок по такому алгоритму постепенно сделают распознавание автоматическим.
Закрепить тему на практике
Теория без практики забывается за неделю. В личном кабинете Просто Урок — задания именно по этой теме с проверкой каждого шага. Регистрация бесплатная.