ЕГЭ задание 3: планиметрия — площади и углы: разбор с решением

Что проверяет задание 3 по планиметрии

Если в геометрии теряешься между формулами, углами и рисунком, задание 3 может казаться сложнее, чем есть. Здесь важно не угадывать, а действовать по плану: определить фигуру, найти нужные элементы и аккуратно подставить значения. В статье разберём площади и углы на понятном примере, а затем соберём частые ошибки в одну систему.

В профильном ЕГЭ задание 3 обычно требует короткого ответа. На рисунке могут быть треугольник, параллелограмм, окружность или несколько фигур сразу. Сначала выпиши, что дано, затем определи, какую величину спрашивают. Если нужна площадь, ищи основание и высоту; если угол — используй свойства параллельных прямых, треугольников или окружности.

Площадь треугольника: S = ½ · a · h
Площадь параллелограмма: S = a · h
Сумма углов треугольника: 180°

Например, у треугольника основание 8, высота 5. Тогда S = ½ · 8 · 5 = 20. Типичная ошибка — принять за высоту боковую сторону. Высота должна быть перпендикулярна основанию, поэтому на рисунке ищи отметку прямого угла или мысленно проводи перпендикуляр.

Площади: как выбрать нужную формулу

Начинай решение с определения фигуры. Для прямоугольника достаточно перемножить стороны, для треугольника нужна половина произведения основания на высоту, а для трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту. Если фигура составная, раздели её на знакомые части или дострой до прямоугольника.

Пример: трапеция имеет основания 6 и 10, высоту 4. Площадь равна ½ · (6 + 10) · 4 = 32. Если в условии дан диаметр окружности 12, радиус равен 6, поэтому площадь круга записывается как π · 6², а не π · 12².

Закрепить базовые приёмы можно в разборе геометрического задания, а затем потренироваться в личном кабинете с бесплатной практикой.

Углы в треугольниках и параллельных прямых

Для углов полезно идти от самых надёжных свойств. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°. Если прямые параллельны, то соответственные и накрест лежащие углы равны. Эти факты часто комбинируются в одном рисунке.

Вертикальные углы равны
Смежные углы: α + β = 180°
Углы треугольника: α + β + γ = 180°

Рассмотрим пример: в треугольнике два угла равны 45° и 65°. Третий угол равен 180° − 45° − 65° = 70°. Если рядом с ним образован смежный угол, его величина будет 110°. Не перепутай внутренний угол треугольника со внешним.

Ещё один типичный ход: если две стороны треугольника равны, напротив них лежат равные углы. Поэтому обозначения на рисунке могут заменить длинное вычисление. Ошибка возникает, когда ученик считает равными углы при вершине, хотя равными бывают именно углы при основании равнобедренного треугольника.

Перед ответом проверь, какой именно угол отмечен дугой. Иногда нужный угол внешний, а иногда он разделён дополнительным лучом. Если обозначений недостаточно, выпиши известные углы рядом с вершинами — так логика решения станет видимой.

Для оформления полезны рекомендации из статьи как записывать геометрию без потери баллов. В личном кабинете можно решить короткую бесплатную подборку по площадям и углам.

Разобранный пример с решением

Задача: в прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, катеты AC и BC равны 6 и 8. Найдите площадь треугольника и острый угол, противолежащий катету 6. Такой пример объединяет площадь и углы, поэтому его удобно решать строго по шагам.

AC = 6, BC = 8, ∠C = 90°
S = ½ · AC · BC = ½ · 6 · 8 = 24
AB = √(6² + 8²) = √100 = 10
sin α = 6 ÷ 10 = 0,6
α ≈ 36,9°

Сначала используем катеты как основание и высоту: они перпендикулярны, значит площадь равна 24. Затем по теореме Пифагора находим гипотенузу 10. Для угла α, который лежит напротив катета 6, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно 0,6. По таблице или калькулятору получаем примерно 36,9°.

Если требуется целое значение или ответ с нужной точностью, смотри формулировку задания. Нельзя округлять промежуточные вычисления слишком рано. Частая ошибка — использовать косинус для угла, если выбранный катет является противолежащим, а не прилежащим.

После решения мысленно проверь результат: острый угол напротив меньшего катета должен быть меньше 45°. Значение 36,9° подходит, а площадь 24 меньше произведения катетов 48, потому что у прямоугольного треугольника берётся половина.

Типичные ошибки и быстрый алгоритм

Самая частая ошибка — начинать считать, не разобрав рисунок. Сначала отметь прямые углы, равные стороны, параллельность и известные углы. Затем подпиши величины прямо на схеме. Такой порядок снижает риск подставить в формулу не тот отрезок.

Алгоритм:
1. Определи фигуру и вопрос задачи
2. Выпиши подходящее свойство или формулу
3. Найди недостающие элементы
4. Выполни вычисления
5. Проверь единицы и смысл ответа

Например, если площадь параллелограмма равна 36, а основание 9, высота равна 36 ÷ 9 = 4. Ошибка — разделить 36 на боковую сторону, хотя именно основание указано в формуле. В задачах на углы похожая проблема возникает, когда складывают углы, которые не являются частями одной развёрнутой или треугольной фигуры.

Если ответ выглядит странно, вернись к рисунку, а не начинай всё заново. Проверь знак, единицы, радиус вместо диаметра и соответствие высоты основанию. Регулярная практика в бесплатном личном кабинете помогает сделать алгоритм привычным.

Что запомнить перед практикой

В задачах на площади ищи основание и перпендикулярную высоту, а в задачах на углы сначала используй базовые свойства: сумму углов треугольника, вертикальные и смежные углы, равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Не забывай, что радиус равен половине диаметра.

Полное решение удобно строить цепочкой: рисунок → известные свойства → формула → вычисление → проверка. Даже короткий ответ становится надёжнее, если ты понимаешь, почему выбрана именно эта формула. После разбора зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете.

Перед тренировкой повтори формулы площадей и обозначения тригонометрических отношений. Начинай с простых рисунков, затем переходи к составным фигурам и задачам, где площадь связана с углом. Ошибки фиксируй отдельно: так ты увидишь, что именно требует повторения.