ЕГЭ задание 3: планиметрия — площади и углы

Площади фигур: формулы, которые действительно нужны

Почти вся площадь в задании 3 считается через одну идею: площадь — это произведение основания на высоту, проведённую к этому основанию, с коэффициентом ½ для треугольника. Запомни эту логику, и таблица формул перестанет казаться набором случайных букв.

Пример. Трапеция с основаниями 6 и 10 и высотой 4: S = ½ · (6 + 10) · 4 = ½ · 16 · 4 = 32. Обрати внимание: мы складываем основания, а не вычитаем их, и умножаем на высоту, а не на боковую сторону.

Типичная ошибка: в параллелограмме берут боковую сторону вместо высоты. Если стороны 5 и 8, а высота к стороне 8 равна 3, площадь равна 8 · 3 = 24, а не 5 · 8 = 40. Высота всегда идёт под прямым углом к выбранному основанию.

Потренироваться на коротких задачах с мгновенной проверкой удобно в личном кабинете «Просто Урок»: система сама покажет, где ты потерял высоту или перепутал формулу.

Углы: треугольник, четырёхугольник, параллельные прямые

Углы в задании 3 держатся на трёх опорах. Первая: сумма углов треугольника равна 180°, а четырёхугольника — 360°. Вторая: внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним. Третья: при параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны, соответственные тоже равны, а односторонние в сумме дают 180°.

Пример. Углы треугольника относятся как 3 : 7 : 8. Обозначаем их 3x, 7x и 8x, получаем 18x = 180°, откуда x = 10°. Значит, углы равны 30°, 70° и 80°. Проверка простая: 30 + 70 + 80 = 180.

Если в задаче есть прямоугольный треугольник, подключаются синус и косинус острого угла — подробный разбор отношений сторон есть в статье тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Главное правило: sin — отношение противолежащего катета к гипотенузе, cos — прилежащего к гипотенузе.

Частая ошибка: в трапеции складывают односторонние углы при боковой стороне и ждут 360° вместо 180°. Вторая: путают накрест лежащие углы (они равны) с односторонними (они в сумме 180°). Третья: считают, что сумма углов любого четырёхугольника не равна 360° — это верно только для плоских выпуклых фигур, которые и дают на экзамене.

Окружность, вписанные углы и касательная

Окружность в задании 3 — источник коротких и красивых задач. Главное правило: вписанный угол равен половине центрального, который опирается на ту же дугу. Отсюда сразу несколько следствий.

Угол, опирающийся на диаметр, прямой, то есть равен 90°. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. У вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны 180°, и это очень удобная проверка при решении.

Пример. Центральный угол равен 120°, тогда вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 120 ÷ 2 = 60°. Если же вписанный угол равен 40°, то центральный — 80°. Числа в ответе почти всегда целые, и это хороший сигнал, что ты не ошибся.

Касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Этот факт часто даёт прямоугольный треугольник, а вместе с ним — теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Полный разбор задачи: от чертежа до ответа

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, катет AC = 8, гипотенуза AB = 10. Найдите площадь треугольника и угол A.

Шаг 1. Второй катет: BC = √(AB² − AC²) = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6
Шаг 2. Площадь: S = ½ · AC · BC = ½ · 8 · 6 = 24
Шаг 3. Синус угла A: sin A = BC ÷ AB = 6 ÷ 10 = 0,6
Шаг 4. Косинус угла A: cos A = AC ÷ AB = 8 ÷ 10 = 0,8
Шаг 5. Угол по таблице или калькулятору: ∠A ≈ 37°
Ответ: S = 24, ∠A ≈ 37°

Проверим: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², значит катет найден верно. Площадь получилась целым числом, что для задания 3 типично и служит дополнительным сигналом правильного решения.

Что ломается чаще всего: для площади берут гипотенузу вместо катета, забывают коэффициент ½ или ищут угол через тангенс, путая отношение сторон. Ещё одна ошибка — записывать sin A = 8 ÷ 10, то есть брать прилежащий катет вместо противолежащего.

Что запомнить

Итог коротко. Площади: треугольник — ½ основания на высоту, параллелограмм — основание на высоту, трапеция — полусумма оснований на высоту, круг — π · r², сектор — доля круга по центральному углу.

Углы: сумма углов треугольника 180°, четырёхугольника — 360°, вписанный угол вдвое меньше центрального, угол на диаметре прямой, касательная перпендикулярна радиусу.

Дальше — только практика. Зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по этой теме бесплатно: тренажёр покажет, где именно ты ошибаешься, и подскажет, какую формулу стоит повторить.

И последний шаг: вернись к разобранному примеру через день и реши его сам, без подсказок. Если получилось с первого раза и без запинки — тема закрыта, можно переходить к следующему типу задач.