Тригонометрия в прямоугольном треугольнике: ОГЭ

Разберись, что искать в прямоугольном треугольнике

На ОГЭ легко потерять баллы не из-за сложной математики, а из-за путаницы в сторонах и формулах. За один разберём понятный алгоритм: как определить гипотенузу, выбрать синус, косинус или тангенс и записать решение без лишних действий.

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, то есть угол 90°. Сторона напротив него называется гипотенузой. Это самая длинная сторона, и она обозначается обычно буквой c. Две другие стороны называются катетами.

Если рассматриваем острый угол α, то катет напротив него называют противолежащим, а катет, который образует этот угол, — прилежащим. Название стороны зависит от выбранного угла. Одна и та же сторона может быть прилежащим катетом для одного угла и противолежащим для другого.

Перед вычислениями отметь прямой угол и нужный острый угол. Затем подпиши три стороны относительно этого угла. Такой порядок занимает несколько секунд, но защищает от большинства ошибок.

Выбери нужную тригонометрическую функцию

Тригонометрические функции связывают острый угол и стороны прямоугольного треугольника. На ОГЭ чаще всего нужны три отношения:

sin α = противолежащий катет ÷ гипотенуза
cos α = прилежащий катет ÷ гипотенуза
tg α = противолежащий катет ÷ прилежащий катет

Есть и обратные зависимости. Если известны синус или косинус и гипотенуза, можно найти катет. Если известен тангенс и один катет, можно выразить второй. Главное — не выбирать функцию по памяти о конкретной задаче. Сначала посмотри, какие стороны известны и какую нужно найти.

Известны	Найти	Удобная функция
противолежащий катет и гипотенуза	угол или отношение	sin α
прилежащий катет и гипотенуза	угол или отношение	cos α
два катета	угол или отношение	tg α

В калькуляторе проверь режим градусов: для задач ОГЭ нужен режим DEG. Например, sin 30° = ½, cos 60° = ½, tg 45° = 1.

Решай задачи по универсальному алгоритму

Любую задачу на тригонометрию удобно решать по четырём шагам. Первый: выдели прямоугольный треугольник и нужный угол. Второй: назови стороны относительно угла. Третий: запиши подходящую формулу. Четвёртый: подставь числа и проверь, реалистичен ли ответ.

Разберём типичный пример. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, гипотенуза AB равна 12. Найдём катет BC, который лежит напротив угла A.

\( \sin A = BC \div AB \)
\( \sin 30^\circ = BC \div 12 \)
\( ½ = BC \div 12 \)
\( BC = 12 \times ½ = 6 \)
Ответ: BC = 6

Проверка помогает заметить ошибку: катет 6 меньше гипотенузы 12. Это возможно. Если бы получилось число больше 12, формула или подстановка были бы неверными.

В ответе ОГЭ записывай единицы измерения, если они указаны в условии. В кратком ответе оставляй нужное число, а в развёрнутом решении обязательно показывай формулу и подстановку.

Небольшая бесплатная практика в личном кабинете «Просто Урок» поможет закрепить именно такой порядок действий.

Используй свойства углов и сторон

Иногда значение функции не дано напрямую, но его можно получить из свойств треугольника. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если один угол равен 37°, второй равен 53°.

\( \alpha + \beta = 90^\circ \)
\( \sin \alpha = \cos \beta \)
\( \cos \alpha = \sin \beta \)

Эти равенства полезны, когда в условии указан угол, дополнительный к нужному. Например, если β = 60°, то sin α = cos 60° = ½, потому что α = 30°.

Для специальных углов стоит помнить несколько значений:

\( \sin 30^\circ = ½ \)
\( \cos 60^\circ = ½ \)
\( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \sqrt{2} \div 2 \)
\( \tg 45^\circ = 1 \)

Также работает теорема Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

Её применяют, когда известны два элемента и нужно найти третий. Например, при катетах 6 и 8 гипотенуза равна √(6² + 8²) = √100 = 10. После этого можно использовать синус или косинус.

Избегай ошибок в заданиях ОГЭ

Первая частая ошибка — принятие короткой стороны за гипотенузу. Гипотенуза всегда напротив прямого угла, даже если на рисунке она выглядит почти вертикальной.

Вторая ошибка — неправильный выбор катета. Смотри не на положение слева или справа, а на выбранный угол. Проведи мысленно линию напротив угла: сторона, которая не касается его вершины, будет противолежащей.

Третья ошибка — использование режима радиан в калькуляторе. Если вводишь 30 и получаешь странное значение, проверь переключатель DEG.

Четвёртая ошибка — преждевременное округление. Сохраняй точные значения вроде √2, а округляй только на последнем шаге и по условию. Запись 2⅓ не следует сразу заменять на 2,33, если точность не требуется.

Перед сдачей проверь три вещи: угол указан в градусах, ответ соответствует длине стороны, формула записана именно для выбранного угла. Если нужно сравнить стороны, помни: напротив большего острого угла лежит больший катет.

В личном кабинете «Просто Урок» можно потренироваться на задачах с рисунками и отдельно проверить выбор функции.

Что запомнить перед экзаменом

Прямоугольный треугольник начинается с прямого угла. Напротив него находится гипотенуза. Для выбранного острого угла один катет будет противолежащим, второй — прилежащим.

sin α = противолежащий катет ÷ гипотенуза
cos α = прилежащий катет ÷ гипотенуза
tg α = противолежащий катет ÷ прилежащий катет
\( c^2 = a^2 + b^2 \)

Алгоритм простой: отметь угол, подпиши стороны, выбери формулу, подставь данные, оцени ответ. Не забывай про градусный режим калькулятора и не округляй раньше времени.

Следующий шаг конкретный: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После этого станет ясно, какая часть алгоритма уже получается уверенно, а какую стоит повторить.