ЕГЭ задание 4: вычисления и преобразования: разбор с решением

Задание 4 профиля: что на самом деле проверяют

Ты открываешь вариант, доходишь до четвёртого задания и видишь выражение из корней, степеней и логарифмов. Знакомо? Хорошая новость: это самая алгоритмичная задача первой части — здесь не нужно догадываться, достаточно уверенно применять десяток формул. Ниже — пошаговая теория, полный разбор решения и типичные ошибки, чтобы ты перестал терять эти баллы.

Задание 4 профиля называется «Вычисления и преобразования». Формулировка всегда одна: найди значение выражения. Меняется только начинка: степени с рациональным показателем, арифметические корни, логарифмы, тригонометрия, иногда всё сразу. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую ты вписываешь в бланк.

Ценность задания в скорости: при отработанной базе оно решается за две-три минуты. Смотри, какие типы встречаются в вариантах чаще всего.

Проверяют не смекалку, а точность. Одна потерянная двойка в показателе — и балл уходит. Поэтому дальше мы разберём каждую группу формул отдельно и закрепим их на примерах.

Степени и корни: правила, которые нужны всегда

Начнём с базы. Любое выражение со степенями решается по одной идее: привести всё к общему основанию и работать с показателями. Правила короткие: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Основание при этом положительное, иначе свойства перестают работать и появляются лишние случаи со знаком.

Корень — это степень с дробным показателем: ⁿ√(aᵐ) = a в степени m/n. Записывать корень степенью удобнее: сразу видно, что показатели можно сокращать. Обратный приём тоже полезен — вынести полный квадрат из-под корня и сложить подобные слагаемые.

⁶√8 = 8^(1/6) = (2³)^(1/6) = 2^(3/6) = 2^(1/2) = √2
√50 − √18 = 5√2 − 3√2 = 2√2
(2√3)² = 2² · (√3)² = 4 · 3 = 12
√12 · √3 = √36 = 6

Типичная ошибка — складывать корни «по частям»: √50 − √18 пытаются записать как √32. Так нельзя: корень из разности не равен разности корней. Сначала всегда упрощай каждое слагаемое отдельно, и только потом складывай.

Логарифмы: короткий набор формул

Логарифм пугает только на вид. Определение простое: logₐb = c означает, что aᶜ = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0. То есть логарифм — это вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить число b». Всё остальное — следствия из этого определения.

Основные формулы, которые нужны в задании 4: logₐ(b · c) = logₐb + logₐc, logₐ(b ÷ c) = logₐb − logₐc, logₐ(bⁿ) = n · logₐb и главная «выключалка» — a в степени logₐb равно b. Ещё пригодится переход к новому основанию: logₐb = lg b ÷ lg a.

log₂ 40 − log₂ 5 = log₂(40 ÷ 5) = log₂ 8 = 3
5 в степени log₅ 9 = 9
log₃ 81 + lg 1000 = 4 + 3 = 7
log₄ 8 = lg 8 ÷ lg 4 = 3 ÷ 2 = 1,5

Классическая ошибка — применять формулу суммы там, где её нет: log₂(a + b) не равно log₂a + log₂b. Сложение внутри логарифма не раскладывается никак, зато разность логарифмов превращается в логарифм частного — этим и пользуйся.

Тригонометрия: тождество и приведение

Тригонометрические выражения в четвёртом задании почти всегда решаются в одну-две строки. Главный инструмент — основное тождество sin²x + cos²x = 1: если видишь одинаковые коэффициенты у синуса и косинуса в квадрате, сумма сразу превращается в число. Второй инструмент — формулы приведения, третий — табличные значения углов.

7·sin²x + 7·cos²x = 7 · (sin²x + cos²x) = 7 · 1 = 7
sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 0,5
cos 120° = −cos 60° = −0,5
tg 45° + cos 60° = 1 + 0,5 = 1,5
sin 2x = 2·sin x·cos x

Отдельно потренируй знаки: во второй четверти синус положительный, а косинус отрицательный, и забытая минусовая единица стоит целого балла. Полезно один раз нарисовать окружность и подписать знаки по четвертям — дальше формулы приведения вспоминаются сами.

Полный разбор примера и типичные ошибки

Теперь соберём всё вместе. Найди значение выражения: 9^(0,5) + 27^(1/3) − (1/4) в степени −1 + log₂ 24 − log₂ 3. Решаем по шагам, каждый переход проговариваем — именно так стоит оформлять в черновике, чтобы не запутаться.

Шаг 1. 9^(0,5) = √9 = 3
Шаг 2. 27^(1/3) = ∛27 = 3
Шаг 3. (1/4)^(−1) = 4
Шаг 4. log₂ 24 − log₂ 3 = log₂(24 ÷ 3) = log₂ 8 = 3
Итог: 3 + 3 − 4 + 3 = 5
Ответ: 5

Разберём, где чаще всего ошибаются. Первое: отрицательный показатель степени. (1/4)^(−1) — это не 1/4, а перевёрнутая дробь, то есть 4. Второе: разность логарифмов делят друг на друга вместо чисел под логарифмом. Третье: путают 9^(0,5) и 9 · 0,5 — показатель 0,5 означает квадратный корень, а не умножение. Четвёртое: складывают по-разному устроенные части выражения раньше, чем упростили каждую.

Проверять себя удобно так: подставь ответ в исходное выражение на калькуляторе. Если сошлось — почти наверняка ты ничего не потерял по дороге. Родителям, которые хотят разобраться, как проверять решение, а не только ответ, будет полезна эта статья о проверке домашней работы. А если хочешь решать такие примеры с подсказками по шагам, начни с бесплатной практики.

Что запомнить и как двигаться дальше

Короткая выжимка. Степени: одно основание — работаем с показателями, корень — это дробная степень. Логарифмы: сумма логарифмов — это логарифм произведения, разность — логарифм частного, a в степени logₐb равно b. Тригонометрия: sin²x + cos²x = 1, знаки по четвертям, табличные значения. Этого минимума хватает для绝大多数 вариантов задания 4.

Следующий шаг — не читать, а делать. Открой личный кабинет, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: по одному на степени, корни, логарифмы, тригонометрию и смешанное. После каждой попытки смотри не только «верно или нет», но и на каком шаге сломалось решение.

Полезно сравнить форматы: похожие преобразования встречаются и в ОГЭ, посмотри разбор задания 16 ОГЭ по математике — увидишь, что приёмы те же, а требования мягче. И помни: 15 минут практики каждый день работают лучше, чем два часа раз в неделю.