Комбинаторика: правила суммы и произведения

1. Зачем нужна комбинаторика

Когда в задаче много вариантов, легко начать перебирать их хаотично и потерять часть ответов. Комбинаторика учит считать такие варианты быстро и без пропусков: ты поймёшь, когда складывать, а когда умножать. Это пригодится в заданиях по вероятности, алгебре и на экзамене.

Главный вопрос перед решением: варианты образуют разные случаи или состоят из нескольких последовательных шагов? Если выбирается один вариант из нескольких непересекающихся групп, используем правило суммы. Если действие выполняется по этапам, работает правило произведения.

Пример:
3 вида сока и 2 вида воды
Выбрать один напиток: 3 + 2 = 5 вариантов

Мы не выбираем одновременно сок и воду, поэтому складываем количество возможностей. Типичная ошибка — умножить 3 на 2, хотя речь идёт не о составлении пары, а об одном выборе.

Полезно сначала описать действие словами: «или» обычно подсказывает сумму, а «и затем» — произведение. Дополнительные задачи на внимательное чтение можно посмотреть в разборе задания 7 ОГЭ.

2. Правило суммы

Правило суммы применяется, если объект выбирают одним способом из нескольких непересекающихся вариантов. Если первый способ даёт m вариантов, а второй — n, всего будет m + n вариантов. Важно, чтобы один и тот же результат не попал сразу в две группы.

Если события несовместимы:
общее число вариантов = m + n

Например, в библиотеке есть 4 приключенческих и 6 научно-популярных журналов. Выбрать один журнал можно 4 + 6 = 10 способами. Группы различаются по типу, значит, пересечения нет.

Если категории пересекаются, простое сложение завысит ответ. Например, среди книг могут быть одновременно и фантастические, и русскоязычные. Тогда общие книги посчитаются дважды, и их нужно вычесть.

Пример с пересечением:
12 книг по математике, 8 по физике, 3 входят в обе группы
12 + 8 − 3 = 17 книг

Типичная ошибка — складывать варианты, которые на самом деле образуют последовательные действия. Для тренировки можно открыть личный кабинет и бесплатно решить несколько заданий.

3. Правило произведения

Правило произведения используют, когда выбор состоит из нескольких шагов. Если первый шаг можно выполнить m способами, а каждый следующий — n способами, число результатов равно m · n. При трёх этапах перемножаются все количества возможностей.

Например, есть 4 футболки и 3 пары брюк. Каждый вариант футболки можно сочетать с каждой парой брюк, поэтому получаем 4 · 3 = 12 комплектов.

Полный пример:
Для кода выбирают одну букву из 5 и две цифры из 10 вариантов каждая.
Первый шаг: 5 вариантов.
Второй шаг: 10 вариантов.
Третий шаг: 10 вариантов.
Всего: 5 · 10 · 10 = 500 кодов.

Типичная ошибка — сложить 5 + 10 + 10. Но код содержит все три элемента, поэтому выборы выполняются последовательно и перемножаются.

4. Как выбрать нужное правило

Начинай решение не с формулы, а с описания результата. Спроси себя: нужен один предмет из разных групп или комплект из нескольких элементов? В первом случае случаи обычно соединяются словом «или». Во втором — словами «и», «после этого», «затем».

Пример:
В меню 3 супа и 4 горячих блюда.
Один выбор: 3 + 4 = 7 вариантов.
Обед из супа и блюда: 3 · 4 = 12 вариантов.

В первой ситуации выбирается только одно блюдо, поэтому группы складываются. Во второй составляется обед, и каждому супу соответствует четыре возможных блюда.

Иногда правила применяются по очереди. Например, код может начинаться с буквы или цифры, а затем содержать две цифры. Сначала считаем варианты начала, затем умножаем на возможности следующих позиций.

Типичная ошибка — смотреть только на числа и не учитывать смысл условия. Проверь, может ли один результат одновременно относиться к двум случаям и повторяется ли каждый выбор на следующем шаге. Если тема связана с физическими моделями и вероятностями, полезен материал о демоверсии ЕГЭ по физике.

5. Типичные ошибки и проверка ответа

Первая ошибка — путать «или» и «и». Вторая — забывать о повторениях. Если цифры в коде могут повторяться, каждая позиция обычно имеет одинаковое число вариантов. Если повторение запрещено, количество возможностей на следующем шаге уменьшается.

Пример без повторений:
Из цифр 1, 2, 3, 4 составляют двузначное число.
Первая цифра: 4 варианта.
Вторая цифра: 3 варианта.
Всего: 4 · 3 = 12 чисел.

Число 11 недопустимо, поэтому после выбора первой цифры остаются только три. Если бы повторение разрешалось, ответ был бы 4 · 4 = 16.

Проверяй ответ оценкой: если вариантов первого шага четыре, а второго три, результат произведения должен быть около десяти, а не сотни. Для суммы результат не может быть меньше каждого слагаемого. Полезно также перечислить несколько вариантов вручную.

6. Что запомнить

Правило суммы: если выбирается один вариант из непересекающихся случаев, количества складываются. Правило произведения: если результат состоит из последовательных выборов, количества перемножаются. При пересечении групп общие элементы вычитаются, а при запрете повторений следующие множители уменьшаются.

Короткая памятка:
«или» → сложение;
«и затем» → умножение;
без повторений → каждый следующий выбор проверяем отдельно.

Например, выбрать красную или синюю ручку — сумма. Составить набор из ручки и тетради — произведение. Перед вычислением выпиши этапы и проверь, не считаешь ли один результат дважды.

Закрепи алгоритм на разных формулировках: зарегистрируйся, открой бесплатную практику и реши 5 заданий. После каждого ответа объясни себе, почему понадобилась сумма или произведение: такое объяснение помогает не угадывать правило.