Логарифмические уравнения: задачи с решениями

Логарифмическое уравнение: что это и почему всё держится на ОДЗ

«Дома логарифмы получаются, а на контрольной — ноль». Знакомая история: вроде бы понял определение, а уравнение всё равно не сходится с ответом. Причина почти всегда одна — потерянное условие области допустимых значений или невнимательная проверка корней. Ниже — рабочий алгоритм, полностью разобранные примеры и список ловушек, после которых логарифмические уравнения перестают быть страшными.

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком логарифма или в его основании. Простейший вид: log по основанию a от выражения f(x) равен числу b. По определению логарифма такое равенство равносильно f(x) = aᵇ при условиях a > 0, a ≠ 1 и f(x) > 0.

Ключевая мысль: определение работает только внутри области допустимых значений. Если под логарифмом стоит выражение, которое может обратиться в ноль или стать отрицательным, дальше двигаться нельзя — преобразования теряют смысл. Поэтому первое действие в любой задаче — выписать неравенства на аргумент и на основание.

log₃(x − 2) = 2
x − 2 = 3²
x − 2 = 9
x = 11
Проверка: 11 − 2 = 9 > 0 — корень подходит

Если хочется освежить степени, корни и действия с выражениями, загляни в материал задание 6 ОГЭ по математике: там база, на которой стоят все логарифмы.

Простейшие уравнения и переход к равносильному виду

Алгоритм здесь короткий, но порядок шагов нарушать нельзя. Сначала выписываем ОДЗ, потом убираем логарифм по определению, затем решаем получившееся уравнение и в конце отсеиваем корни, не попавшие в ОДЗ. Если логарифмы стоят слева и справа с одинаковым основанием, работает переход log по основанию a от f(x) равен log по основанию a от g(x) → f(x) = g(x).

log₂(3x − 1) = 3
3x − 1 = 2³
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Проверка: 3 · 3 − 1 = 8 > 0 — верно

Второй тип чуть хитрее: логарифмы с одинаковым основанием, но выражения под ними разные. Приравниваем аргументы и обязательно следим за знаком. Лишний корень появляется именно здесь, потому что уравнение-следствие шире исходного.

log₅(x² − 4) = log₅(3x)
x² − 4 = 3x
x² − 3x − 4 = 0
x = 4 или x = −1
Проверка ОДЗ: x = 4 → 16 − 4 = 12 > 0 ✓
x = −1 → 1 − 4 = −3 < 0 ✗
Ответ: 4

Хочешь проверить себя на похожих номерах — в личном кабинете открыта бесплатная практика с автоматической проверкой ответа.

Замена переменной: когда логарифм встречается дважды

Как только в уравнении появляется log, возведённый в квадрат, или два одинаковых логарифма, стоит вводить новую переменную. Стандартная схема: обозначаем t = log по основанию a от x, получаем квадратное уравнение относительно t, решаем его и возвращаемся к исходной переменной. Обратная замена — тот шаг, который забывают чаще всего.

log₂²x − 5log₂x + 6 = 0
Обозначим t = log₂x
t² − 5t + 6 = 0
t = 2 или t = 3
log₂x = 2 → x = 4
log₂x = 3 → x = 8
ОДЗ: x > 0, оба корня подходят
Ответ: 4 и 8

Если степень логарифма выше, приём не меняется: выражение log⁴x − 13log²x + 36 = 0 удобно решать через t = log²x, а потом отдельно разбирать знаки. Главное — не потерять случаи, когда t получается отрицательным: логарифм вполне может быть меньше нуля.

Замена удобна и тогда, когда уравнение сводится к дробному виду: t + 2 ÷ t = 3 превращается в t² − 3t + 2 = 0. Дополнительно следи, чтобы новый знаменатель не обращался в ноль, — это тоже часть ОДЗ.

Отдельная выгода замены в том, что она превращает громоздкую запись в знакомую школьную конструкцию, с которой ты уже работал в 8 классе. Поэтому на разборе в бесплатной практике мы всегда сначала ищем «двойника» логарифма, а уже потом что-то преобразуем.

Разные основания и переход к новому основанию

Уравнение log₂x + log₄x = 3 выглядит безобидно, но напрямую сложить логарифмы нельзя: основания разные. Выручает формула перехода: log по основанию b от x равен log по основанию a от x, делённому на log по основанию a от b. Основание 4 удобно выразить через 2, потому что 4 = 2².

log₂x + log₄x = 3
log₄x = log₂x ÷ log₂4 = log₂x ÷ 2
log₂x + 0,5log₂x = 3
1,5log₂x = 3
log₂x = 2
x = 4; ОДЗ: x > 0 ✓

Универсальное правило: приводим все логарифмы к наименьшему основанию, потом работаем как с обычным уравнением. Если основание — переменная, добавляются условия: оно положительно и не равно единице. Про это забывают, а потом удивляются, откуда взялся корень x = 1.

Бывает и обратная задача: log по основанию x от 9 равен 2. Здесь удобно сразу перейти к определению: x² = 9, значит x = 3 или x = −3, но отрицательное основание запрещено, а единица тоже не подходит. Ответ остаётся один — 3.

Типичные ошибки и как проверить ответ

Первая по частоте ошибка — решение без ОДЗ. Вторая — использование формул «в обратную сторону»: переход от суммы log_a f + log_a g к log_a(fg) расширяет область допустимых значений и подкидывает лишние корни.

log₂x + log₂(x − 2) = 3
x(x − 2) = 8
x² − 2x − 8 = 0
x = 4 или x = −2
ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0 → x > 2
Ответ: 4

Третья ошибка — арифметика на последнем шаге: перепутанная степень двойки или знак при переносе. Четвёртая — отсутствие проверки подстановкой, хотя она занимает полминуты и спасает целый балл.

Что запомнить

Держи в голове четыре шага: ОДЗ, снятие логарифма, решение, отбор корней. Простейшее уравнение решается по определению, одинаковые основания — приравниванием аргументов, квадрат логарифма — заменой, разные основания — переходом к одному. Этого набора хватает почти для всех заданий школьной программы и профильного экзамена.

Полезно помнить и «скелет» проверки: подставь корень в исходную запись и посмотри, положительны ли выражения под логарифмами и не равно ли основание единице. Такой контроль занимает меньше минуты, но убирает большинство обидных потерь.

Следующий шаг — практика. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: система покажет, где именно ты теряешь корни, и подскажет, какой шаг алгоритма стоит повторить. Это честнее, чем перечитывать теорию по кругу.

А когда в программе появится тема функций и их изменения, пригодится разбор «не понимаю производную» — там объясняется, как связаны график, монотонность и формулы.