Тригонометрические неравенства

Что такое тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства часто кажутся сложнее обычных: здесь нужно учитывать не только преобразования, но и периодичность функций. Если запомнить порядок действий, ты сможешь уверенно находить промежутки, где синус, косинус или тангенс больше либо меньше заданного числа. Начнём с главного: решением будет не одно число, а множество значений x.

Сначала определи вид неравенства и область допустимых значений. Для синуса и косинуса правая часть обычно лежит от −1 до 1. Если число выходит за эти границы, ответ иногда получается сразу.

sin x ≥ 1
x = π/2 + 2πn, если требуется равенство
sin x ≤ 2 — верно при любом x

Во второй строке неравенство выполняется для всех действительных x, потому что синус не бывает больше 1. А вот запись sin x ≥ 1 даёт только точки максимума.

Типичная ошибка — забыть про период 2π или записать только один корень. Число n должно принимать все целые значения: n ∈ Z.

Единичная окружность и знаки

Единичная окружность помогает решить неравенства вида sin x ≥ a и cos x ≤ a. На окружности координата точки равна косинусу, а её высота — синусу. Поэтому нужно отметить подходящие дуги и перевести их в интервалы.

Знаки функций по четвертям удобно помнить так:

Например, cos x ≥ 0 выполняется в первой и четвёртой четвертях:

−π/2 + 2πn ≤ x ≤ π/2 + 2πn
n ∈ Z

Границы включены, потому что знак «≥». Если бы было строгое «>», точки, где косинус равен нулю, пришлось бы исключить. Полезно повторить работу с координатной прямой в материалах для повторения базовых заданий ОГЭ.

Типичная ошибка — перепутать знак функции в третьей четверти или механически поменять скобки.

Алгоритм решения простого неравенства

Рассмотрим полный пример: 2sin x − 1 ≥ 0. Сначала перенесём единицу и разделим на положительное число 2. Знак при этом не изменится.

2sin x − 1 ≥ 0
2sin x ≥ 1
sin x ≥ ½
π/6 + 2πn ≤ x ≤ 5π/6 + 2πn
n ∈ Z

Почему появились именно такие границы? На окружности синус равен ½ при углах π/6 и 5π/6. Значения синуса не меньше ½ между этими углами, то есть в верхней части окружности. Затем добавляем полный период 2πn.

Если перед синусом стоит отрицательное число, внимательно следи за знаком. Например, −3sin x > 1 после деления на −3 превращается в sin x < −⅓, а знак меняется на противоположный.

Решение можно проверить подстановкой: x = π/2 даёт sin x = 1, значит исходное неравенство выполняется. А x = 0 даёт −1 ≥ 0, что неверно.

Типичная ошибка — указать только π/6 и 5π/6, забыв бесконечное семейство решений.

Неравенства с тангенсом

Для тангенса период равен π, а функция не определена в точках π/2 + πn. Поэтому при решении нужно учитывать разрывы и не включать их в ответ. Самый понятный способ — отметить нули и запрещённые точки на числовой прямой.

Например:

tg x ≤ 1
x ∈ (−π/2 + πn; π/4 + πn]
n ∈ Z

Число π/4 является точкой, где тангенс равен 1, поэтому правая граница включена. Точка −π/2 + πn не входит в область определения, значит используется круглая скобка. На каждом промежутке длиной π тангенс возрастает от −∞ до +∞.

Для котангенса ситуация похожая, но его функция убывает на каждом промежутке между разрывами. Это влияет на направление поиска решений.

Типичная ошибка — использовать период 2π, как у синуса и косинуса, либо включить вертикальную асимптоту. Проверь область определения ещё до преобразований.

Если хочется потренироваться на смежных вычислениях и делителях, пригодится материал о НОД и НОК: аккуратность в таких шагах помогает и в алгебре.

Сложные выражения и замена

Когда аргумент функции содержит выражение, удобно сделать замену. Например, в неравенстве cos(2x − π/3) ≥ ½ обозначим t = 2x − π/3. Сначала решаем неравенство относительно t, а затем возвращаемся к x.

cos t ≥ ½
−π/3 + 2πn ≤ t ≤ π/3 + 2πn
−π/3 + 2πn ≤ 2x − π/3 ≤ π/3 + 2πn

После прибавления π/3 и деления на 2 получаем:

πn ≤ x ≤ π/3 + πn
n ∈ Z

Замена помогает не запутаться в углах, но нельзя забывать вернуться к исходной переменной. Если коэффициент при x отрицательный, при делении знак неравенства переворачивается.

Ещё один приём — перенести всё в одну часть и разложить выражение, если это возможно. Например, общий множитель sin x может привести к методу интервалов.

Типичная ошибка — оставить ответ для t или потерять период после деления аргумента.

Для самостоятельной проверки можно открыть личный кабинет и решить несколько заданий с похожей структурой.

Что запомнить

Решай тригонометрические неравенства по плану: определи функцию и её период, выполни преобразования, найди ключевые углы, отметь нужную дугу или промежуток, запиши общий ответ с параметром n ∈ Z. Для тангенса и котангенса отдельно проверь область определения.

Главные ориентиры: синус и косинус имеют период 2π, тангенс — π; при делении на отрицательное число знак меняется; строгие неравенства не включают точки равенства; разрывы функций никогда не входят в ответ.

sin x ∈ [−1; 1]
cos x ∈ [−1; 1]
tg x ≠ π/2 + πn

Пример для самопроверки: реши 2cos x < 1 и сравни ответ с окружностью. Если нужна дополнительная практика, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в тренажёре Просто Урок. После этого отметь ошибку, а не только правильный результат: так правило запоминается надёжнее.

Типичная ошибка — перепутать период и границы. Каждый ответ полезно проверить одной точкой внутри и одной вне найденного промежутка.