ЕГЭ задание 11: графики функций: разбор с решением

Задание 11: графики функций — где теряются баллы

Обидно, когда весь курс алгебры вроде бы понятен, а на рисунке с графиком ты теряешься и начинаешь угадывать ответ. Задание 11 профильного ЕГЭ по математике как раз из таких: короткий чертёж, несколько отмеченных точек и ответ в одну строчку. Хорошая новость — громоздких вычислений здесь нет. Нужно лишь уверенно видеть связь между графиком функции и графиком её производной.

В этой статье разберём три главных сюжета задания: дан график функции — ищем производную; дан график производной — описываем поведение функции; даны график и касательная — считаем угловой коэффициент. Каждый шаг показываем на примерах и отдельно разбираем ловушки, из-за которых теряются баллы. Хочешь не просто прочитать, а набить руку? Загляни в личный кабинет «Просто Урок»: там есть задачи с мгновенной проверкой — начать бесплатную практику. А если хочется освежить базу, пригодятся материалы про умножение и деление столбиком.

Производная и график функции: базовое правило

Начнём с главного правила, из которого растёт половина задания. Производная f′(x) отвечает за скорость изменения функции. Там, где f′(x) > 0, функция возрастает; где f′(x) < 0 — убывает; в точках, где производная меняет знак, находятся экстремумы.

При этом важно различать два похожих вопроса. «Точки экстремума» — это значения x, то есть абсциссы. «Экстремумы» — максимумы и минимумы — это значения y самой функции. Путаница между ними самая частая причина обидной потери балла.

Пример. График производной пересекает ось Ox в точках x = −2, x = 1 и x = 5. В точке −2 производная меняет знак с плюса на минус — там у функции максимум. В точке 1 знак меняется с минуса на плюс — это минимум. В точке 5 снова плюс на минус — максимум. Значит, точек максимума две, и ответ пишем именно 2, а не значение самой функции.

Обратный сюжет: на рисунке график производной

Второй тип встречается не реже: на клетчатом поле изображена производная, а спрашивают про функцию. Читаем знак f′(x) и переводим его в поведение f(x). Промежутки, где график производной выше оси Ox, — это промежутки возрастания функции. Где ниже — промежутки убывания.

Пример. График производной лежит выше оси Ox на промежутке (−4; 0) и ниже на (0; 3). Тогда функция возрастает на (−4; 0), убывает на (0; 3), а x = 0 — точка максимума.

Касательная и геометрический смысл производной

Третий частый сюжет: дан график функции и касательная к нему в точке x₀. Нужно найти f′(x₀). Здесь работает геометрический смысл производной: она равна угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла наклона прямой к оси Ox.

Практический приём: дострой касательную до прямоугольного треугольника по клеточкам и посчитай отношение вертикального катета к горизонтальному, не забывая про знак. Подъём вправо — знак «плюс», спуск вправо — знак «минус».

Пример. Касательная проходит через точки (−3; 1) и (1; 4). Вертикальный катет: 4 − 1 = 3. Горизонтальный: 1 − (−3) = 4. Значит, f′(x₀) = 3 ÷ 4 = 0,75. Если бы прямая шла сверху вниз, ответ был бы −0,75.

Полный разбор задачи с решением

Разберём типичную задачу целиком. На рисунке — график функции y = f(x), касательная в точке x₀ проходит через точки A(−4; −1) и B(0; 3). Требуется найти значение производной в точке касания.

Шаг 1. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту: f′(x₀) = tg α.
Шаг 2. Строим прямоугольный треугольник: Δy = 3 − (−1) = 4, Δx = 0 − (−4) = 4.
Шаг 3. f′(x₀) = Δy ÷ Δx = 4 ÷ 4 = 1.
Ответ: 1.

Теперь типичные ошибки. Первая — считать модуль и потерять минус у убывающей касательной. Вторая — перепутать Δy и Δx местами, тогда ответ окажется обратным. Третья — взять координаты точки касания вместо двух точек на прямой. Четвёртая — найти саму f(x₀), хотя просят f′(x₀). Полезно повторить делимость и НОД, чтобы уверенно считать отношения без калькулятора.

Что запомнить

Держи в голове четыре опоры. Первая: знак производной = характер функции, плюс — рост, минус — спад. Вторая: график производной пересекает ось Ox там, где у функции экстремум, а смена знака говорит, максимум это или минимум. Третья: производная в точке касания — это угловой коэффициент, тангенс угла наклона. Четвёртая: считай по клеточкам, аккуратно и со знаком.

Отдельно потренируй различение точек экстремума и значений экстремумов: именно на формулировке вопросы чаще всего и ломаются. И всегда перечитывай, что просят найти — абсциссу, ординату, количество точек или промежуток.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий на графики функций бесплатно — с проверкой и разбором ошибок. Так теория превращается в навык, а навык — в уверенность на экзамене.