Математика 6 класс: делимость и НОК с НОД

Как понять делимость без длинных вычислений

Иногда в задаче нужно быстро узнать, разделится ли число на 2, 3 или 5 без остатка. Разберём признаки делимости и научимся находить НОД и НОК так, чтобы решение стало понятным и аккуратным.

Число a делится на число b, если при делении получается целое число и остаток равен нулю. Например, 24 делится на 6, потому что 24 : 6 = 4. В таком случае 24 называют кратным 6, а 6 — делителем 24.

Кратные числа получают умножением: кратные 5 — это 5, 10, 15, 20 и так далее. Делители числа перебирают наоборот. У числа 12 делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

24 : 6 = 4 → 24 кратно 6
6 × 4 = 24 → 6 является делителем 24

На практике полезно проверять делимость по признакам. На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 — числа, оканчивающиеся на 0 или 5. На 10 — числа, оканчивающиеся на 0.

В личном кабинете «Просто Урок» можно бесплатно потренировать такие быстрые проверки.

Как быстро проверять делимость числа

Для деления на 3 сложите все цифры числа. Если сумма делится на 3, то и исходное число делится на 3. Для деления на 9 действует тот же способ, только сумма цифр должна делиться на 9.

Например, проверим число 4 572. Сумма его цифр равна 4 + 5 + 7 + 2 = 18. Число 18 делится и на 3, и на 9. Значит, 4 572 также делится на 3 и на 9.

\( 4 572: 4 + 5 + 7 + 2 = 18 \)
18 : 3 = 6 → 4 572 делится на 3
18 : 9 = 2 → 4 572 делится на 9

Для 4 достаточно проверить последние две цифры. Если образованное ими число делится на 4, то всё число делится на 4. Для 8 проверяют последние три цифры. Например, 1 236 делится на 4, потому что 36 : 4 = 9.

Такие признаки экономят время, но не заменяют понимание. Если признак не подходит, можно выполнить обычное деление с остатком.

Как находить НОД двух чисел

НОД — наибольший общий делитель. Это самое большое число, на которое без остатка делятся оба данных числа. НОД нужен, например, когда надо разложить конфеты или предметы на одинаковые группы максимально большого размера.

Начнём с разложения на простые множители. Простое число имеет только два делителя: 1 и само себя. Разложим 36 и 48.

\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \)
\( 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3 \)
Общие множители: 2² и 3
НОД(36; 48) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Для НОД берём только общие простые множители и каждую общую степень в меньшем количестве. В нашем примере у 2 меньшая степень — 2², у 3 — 3¹.

Можно найти НОД и перечислением делителей, если числа небольшие. У 18 делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, а у 24 — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Самый большой общий делитель — 6.

Если нужна дополнительная практика с разложением чисел, задания доступны в бесплатном тренажёре «Просто Урок».

Как находить НОК и решать задачи по шагам

НОК — наименьшее общее кратное. Это самое маленькое положительное число, которое делится на каждое из данных чисел. НОК встречается в задачах про расписания: например, один звонок повторяется каждые 6 минут, другой — каждые 8 минут.

Разложим числа на простые множители. Для НОК берём все простые множители, встречающиеся хотя бы в одном разложении, и выбираем большую степень каждого.

\( 12 = 2^2 \times 3 \)
\( 18 = 2 \times 3^2 \)
НОК(12; 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Проверка: 36 : 12 = 3 и 36 : 18 = 2. Значит, 36 действительно кратно обоим числам, а меньшего подходящего числа нет.

Задача: автобусы приходят каждые 10 и 15 минут. Когда они встретятся снова?
НОК(10; 15) = 30
Ответ: через 30 минут.

Запомни различие: НОД помогает делить на самые большие одинаковые группы, а НОК — находить общий момент или общее кратное.

Как не путать НОД, НОК и признаки делимости

Главная ошибка — выбрать НОД вместо НОК или наоборот. Сначала прочитай смысл задачи. Слова «разделить поровну», «составить одинаковые группы» обычно подсказывают НОД. Слова «одновременно снова», «общий момент», «наименьшее число, кратное» указывают на НОК.

Что ищем	Вопрос-подсказка	Пример
НОД	На что разделятся оба числа?	НОД(18; 30) = 6
НОК	Какое первое общее кратное?	НОК(6; 8) = 24
Признак	Делится ли число без остатка?	246 делится на 2 и 3

Ещё одна ошибка — брать все множители для НОД или только общие для НОК. Для НОД нужны общие множители в меньших степенях. Для НОК нужны все множители в больших степенях.

Не забывай про запись ответа. В задаче важны не только вычисления, но и единицы: минуты, конфеты, группы или детали.

Что запомнить и что уметь к концу темы

Делимость без остатка означает, что частное является целым числом. Признаки делимости помогают быстро проверять числа: на 2 смотрим на последнюю цифру, на 5 и 10 — тоже, а для 3 и 9 складываем цифры.

НОД — самый большой общий делитель. Его используют, когда нужно разделить предметы на одинаковые и как можно более крупные группы. НОК — самое маленькое общее кратное. Он помогает находить момент, когда повторяющиеся события совпадут.

Алгоритм решения простой: разложи числа на простые множители, выбери нужные множители, перемножь их и проверь результат.

НОД → общие множители и меньшие степени
НОК → все множители и большие степени

К концу темы ты должен уметь находить делители и кратные, применять признаки делимости, раскладывать числа на простые множители, вычислять НОД и НОК, а также выбирать нужное действие по условию задачи.

Следующий шаг — зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы закрепить алгоритмы на практике.