Экстремумы функции: максимум и минимум

Что такое экстремум функции

График может подниматься, достигать вершины, а затем опускаться. Если научиться находить такие повороты, ты сможешь уверенно решать задания на максимум и минимум, исследовать функции и не терять баллы из-за невнимательности. Экстремум — это точка, в которой функция меняет характер поведения: с возрастания на убывание или с убывания на возрастание.

Точка максимума не обязательно даёт самое большое значение функции на всей области определения. Это лишь вершина на некотором ближайшем участке. Аналогично, точка минимума — локальная впадина, а не всегда абсолютный минимум.

f(x) возрастает → убывает: максимум
f(x) убывает → возрастает: минимум

Например, у функции y = −x² + 4 вершина находится при x = 0: слева график растёт, справа убывает. Значение максимума равно 4.

Типичная ошибка — называть экстремумом любую точку, где производная равна нулю. Это только возможная точка экстремума: знак производной ещё нужно проверить.

Производная и критические точки

В 11 классе экстремумы чаще всего находят с помощью производной. Сначала вычисли f′(x), затем реши уравнение f′(x) = 0 и отдельно проверь точки, где производная не существует, но сама функция определена. Полученные значения называют критическими.

После этого разбей область определения критическими точками и определи знак производной на каждом промежутке. Если знак меняется с «плюса» на «минус», найден максимум. Если с «минуса» на «плюс» — минимум.

f(x) = x³ − 3x² + 2
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
f′(x) = 0 → x = 0 или x = 2

На промежутках знак производной будет таким: «плюс, минус, плюс». Поэтому x = 0 — максимум, а x = 2 — минимум. Чтобы получить координаты точек, подставь эти значения в исходную функцию.

Ошибка — искать только корни производной и сразу записывать ответ, не проверив смену знака.

Алгоритм исследования функции

Удобный алгоритм помогает не запутаться даже в длинном задании. Сначала найди область определения, затем производную и критические точки. После этого исследуй знаки производной, вычисли значения функции в экстремумах и, если требуется, сравни их с концами отрезка.

f(x) = x² − 4x + 1
f′(x) = 2x − 4
2x − 4 = 0 → x = 2
f(2) = 4 − 8 + 1 = −3

Производная отрицательна слева от 2 и положительна справа, значит, в точке x = 2 расположен минимум, а минимальное значение равно −3.

Типичная ошибка — путать абсциссу экстремума x = 2 со значением функции y = −3. В ответе внимательно смотри, что именно спрашивается.

Экстремумы на отрезке

Если функция задана на отрезке [a; b], нужно искать не только внутренние экстремумы, но и проверить оба конца. Абсолютный максимум или минимум может находиться именно на границе, даже если внутри отрезка есть локальная вершина или впадина.

Порядок действий такой: найди критические точки, оставь только те, которые принадлежат отрезку, вычисли значения функции во всех критических точках и на концах, затем сравни результаты.

f(x) = x³ − 3x, x ∈ [−2; 2]
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
x = −1, x = 1
f(−2) = −2; f(−1) = 2; f(1) = −2; f(2) = 2

Максимальное значение равно 2, оно достигается при x = −1 и x = 2. Минимальное значение равно −2, оно достигается при x = −2 и x = 1.

Ошибка — проверить только производную и забыть концы отрезка. Для закрытого отрезка это обязательная часть решения.

Если хочешь потренироваться на похожих заданиях, загляни в материал о решении задач по математике, а затем попробуй бесплатную практику в личном кабинете.

Типичные ошибки при поиске максимума

Первая ошибка — неверно вычисленная производная. Помни: производная xⁿ равна n·xⁿ⁻¹, а производная постоянной равна нулю. Вторая — потерянные корни уравнения f′(x) = 0. Третья — отсутствие проверки знаков или сравнения значений.

f(x) = x⁴ − 2x²
f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1)
x = −1, 0, 1

Знаки производной меняются так: минус, плюс, минус, плюс. Значит, x = −1 и x = 1 — точки минимума, а x = 0 — точка максимума. Значения функции: f(0) = 0, f(−1) = −1, f(1) = −1.

Полезная привычка — после решения проговорить: «знак изменился с … на …, поэтому это …». Закрепить тему можно в бесплатной практике и сверить дополнительные примеры в материале для повторения задания 14.

Что запомнить

Экстремум — точка изменения возрастания и убывания функции. Для поиска найди производную, реши f′(x) = 0, проверь область определения и исследуй знаки на промежутках. Плюс → минус означает максимум, минус → плюс — минимум.

f′(x) > 0 → функция возрастает
f′(x) < 0 → функция убывает
«+» → «−» — максимум
«−» → «+» — минимум

На отрезке обязательно сравни значения функции в критических точках и на концах. Не путай координату x с самим значением максимума или минимума и не делай вывод только по равенству производной нулю.

Если решение пока кажется длинным, разбивай его на маленькие шаги и каждый раз подписывай смысл найденного результата. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете — так правило быстрее превратится в навык.