Касательная к графику: уравнение

Что такое касательная к графику

Если в задаче нужно найти касательную, а формула кажется сложной, главное — не угадывать её вид, а действовать по понятному алгоритму. Касательная помогает быстро описать, как ведёт себя функция около выбранной точки, поэтому тема важна и для уроков, и для экзамена.

Касательная — это прямая, которая имеет с графиком функции общую точку и совпадает с ним по направлению в этой точке. Для функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ её уравнение выглядит так: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀).

Здесь f(x₀) — ордината точки касания, а f′(x₀) — угловой коэффициент касательной. Он показывает наклон прямой: если коэффициент положительный, прямая возрастает, если отрицательный — убывает.

f(x) = x² + 1
x₀ = 2
f(2) = 5
f′(x) = 2x, f′(2) = 4

Значит, точка касания имеет координаты (2; 5), а наклон прямой равен 4. Частая ошибка — подставить в формулу f′(x₀) вместо f(x₀), поэтому сначала выпиши оба значения отдельно.

Алгоритм составления уравнения

Решение удобно разбить на четыре шага. Сначала найди производную функции. Затем определи абсциссу точки касания: её могут дать в условии или получить из координат точки. После этого вычисли значение функции и производной в найденной точке. В конце подставь результаты в формулу касательной.

Если известна точка A(x₀; y₀), причём она лежит на графике, можно использовать запись y − y₀ = k·(x − x₀), где k = f′(x₀). Она часто короче и снижает риск ошибки при вычислении значения функции.

f(x) = x³ − 3x
A(1; −2)
f′(x) = 3x² − 3
k = f′(1) = 0
y + 2 = 0·(x − 1)
y = −2

Получилась горизонтальная касательная. Это логично: в точке x = 1 производная равна нулю, значит график в данный момент не имеет наклона.

Как найти точку касания

Иногда абсцисса точки уже указана, но в экзаменационных задачах её приходится находить. Например, условие может содержать значение производной, угловой коэффициент или требование, чтобы касательная была параллельна заданной прямой.

Если касательная параллельна прямой y = kx + b, её угловой коэффициент равен k. Поэтому нужно решить уравнение f′(x) = k. Если касательная перпендикулярна прямой с ненулевым коэффициентом k, её коэффициент равен −1 ÷ k.

f(x) = x² − 4x + 1
Касательная параллельна y = 6x − 2
f′(x) = 2x − 4
2x − 4 = 6
x₀ = 5
f(5) = 6
y − 6 = 6·(x − 5)
y = 6x − 24

Мы нашли абсциссу, затем координату точки и составили прямую. Обрати внимание: свободный член исходной параллельной прямой не влияет на положение точки касания, важен только коэффициент 6.

Типичная ошибка — приравнять f(x) к коэффициенту наклона. Функция отвечает за координату y, а производная — за направление касательной. Для дополнительной тренировки можно обратиться к материалам о решении заданий по математике.

Особые случаи и проверка ответа

Касательная может быть горизонтальной, если f′(x₀) = 0. Тогда её уравнение имеет вид y = y₀. Вертикальная касательная встречается у некоторых функций, но в стандартных задачах на производную обычно рассматривают графики, для которых производная в точке существует и конечна.

Полезно различать касательную и нормаль. Нормаль перпендикулярна касательной, поэтому при коэффициенте касательной k её коэффициент равен −1 ÷ k, если k ≠ 0. Для проверки используй три вопроса: проходит ли прямая через точку, совпадает ли её наклон с производной, правильно ли раскрыты скобки.

f(x) = √x
x₀ = 4
f(4) = 2
f′(x) = 1 ÷ (2√x)
f′(4) = 1 ÷ 4
y − 2 = ¼·(x − 4)

Ошибка здесь — забыть, что производная корня содержит знаменатель 2√x.

Типичные ошибки в задачах

Первая ошибка — неверно вычислить производную. Перед решением напомни себе базовые правила: производная xⁿ равна n·xⁿ⁻¹, производная суммы находится почленно, а производная постоянной равна нулю. Вторая ошибка — потерять знак при подстановке отрицательной абсциссы.

Третья проблема — смешать координаты точки и коэффициент наклона. В формуле y − y₀ = k·(x − x₀) число y₀ относится к точке, а k — к производной. Четвёртая ошибка — оставить ответ в виде длинного выражения и не раскрыть скобки, хотя это не всегда обязательно, но может затруднить проверку.

f(x) = x² + 2x
x₀ = −1
f(−1) = −1
f′(x) = 2x + 2
k = f′(−1) = 0
y + 1 = 0·(x + 1)
y = −1

Здесь особенно важно аккуратно считать: (−1)² + 2·(−1) = −1. Если забыть скобки, можно получить другой результат.

Если хочется закрепить вычисления, в личном кабинете доступна бесплатная практика по похожим шагам.

Что запомнить

Главная формула темы: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Сначала найди производную, затем вычисли f(x₀) и f′(x₀), после чего подставь их в уравнение. Если дана точка (x₀; y₀), используй более короткую форму y − y₀ = k·(x − x₀).

Производная отвечает за наклон касательной, а значение функции — за положение точки на графике. При параллельности прямых сравнивай угловые коэффициенты. При горизонтальной касательной производная равна нулю. Всегда проверяй, проходит ли итоговая прямая через точку касания.

План решения
1) Найти f′(x)
2) Определить x₀
3) Вычислить y₀ = f(x₀)
4) Найти k = f′(x₀)
5) Записать y − y₀ = k·(x − x₀)

Например, для f(x) = x² в точке x₀ = 3 получаем y₀ = 9 и k = 6, поэтому касательная: y − 9 = 6·(x − 3). Ошибка — остановиться после нахождения производной.

Теперь зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете: практика покажет, какой шаг ещё требует внимания.