Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Что такое наибольшее значение функции

Задания на наибольшее значение часто кажутся длинными: нужно не просто вычислить функцию, а доказать, где она достигает максимума. Разберём понятный алгоритм, чтобы ты уверенно находил ответ и не терял баллы из-за проверки только одной точки.

Наибольшее значение функции на отрезке [a; b] — это такое число f(x₀), которое не меньше значений функции во всех остальных точках этого отрезка. Отрезок важен: его концы обязательно проверяют.

Если функция непрерывна, максимум существует. Сначала найди производную, затем реши уравнение f′(x) = 0 и выбери корни, попавшие в отрезок. После этого вычисли функцию в найденных точках и на концах.

Пример: f(x) = −x² + 4x + 1, x ∈ [0; 5]
f′(x) = −2x + 4 = 0 → x = 2
Проверяем x = 0, 2, 5.

Типичная ошибка — назвать вершину параболы максимумом и забыть сравнить её с концами отрезка. На практике полезно сразу отмечать кандидатов в черновике. Если хочешь потренироваться на похожем формате, загляни в разбор задания 7 ЕГЭ.

Алгоритм решения по производной

Рассмотрим полный пример. Пусть требуется найти наибольшее значение функции f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 на отрезке [−2; 4]. Работаем последовательно: сначала определяем область проверки, затем производную и критические точки.

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1)
f′(x) = 0 → x = 3 или x = −1
Обе точки принадлежат [−2; 4].
f(−2) = −8 − 12 + 18 + 5 = 3
f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10
f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22
f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15
Наибольшее значение: 10.

Мы сравнили четыре числа, поэтому ответ обоснован. Ошибка возникает, когда ученик находит только критические точки и не вычисляет значения на концах. Чтобы закрепить алгоритм в личном кабинете, можно открыть бесплатную практику и решить несколько аналогичных примеров.

Как понять, где максимум

Производная показывает направление изменения функции. Если слева от точки f′(x) положительна, функция возрастает; если справа отрицательна, она убывает. Переход «плюс → минус» означает локальный максимум. Однако для максимума на отрезке всё равно нужно сравнить значения всех кандидатов.

Например, для f(x) = −2x² + 8x − 1 вершина находится там, где производная равна нулю.

f′(x) = −4x + 8
−4x + 8 = 0 → x = 2
f(2) = −8 + 16 − 1 = 7

Если отрезок [0; 3], число 7 — наибольшее значение: парабола направлена ветвями вниз, а вершина попадает внутрь. Но если отрезок [3; 5], вершина уже не входит в область, поэтому проверяются только концы: функция там убывает, и максимум будет в x = 3.

Типичная ошибка — считать любой корень производной максимумом. Корень может быть минимумом или вообще не принадлежать отрезку. Знаки производной помогают понять ситуацию, но финальное сравнение остаётся обязательным.

Когда производная не нужна

Иногда максимум удобно искать без производной. Для квадратичной функции можно использовать координату вершины, если известны коэффициенты. Для f(x) = ax² + bx + c она равна x₀ = −b ÷ (2a). Если a меньше нуля, вершина даёт максимум на всей параболе. Но на отрезке её нужно учитывать только при попадании внутрь.

Пример: f(x) = 3x − 2 на [1; 4]. Так как функция возрастает, максимум достигается справа: f(4) = 10. Ошибка — подставить левый конец без анализа направления роста. Даже простой пример требует учитывать знак коэффициента.

Типичные ошибки и проверка ответа

Первая ошибка — потеря скобок при подстановке отрицательного числа: в выражении −x² сначала возводится в квадрат всё значение x, а затем ставится минус. Вторая — решение производной без ограничения отрезком. Третья — путаница между абсциссой точки и самим наибольшим значением: ответом обычно является f(x₀), а не x₀.

Проверка: f(x) = −(x − 1)² + 6, x ∈ [−1; 2]
Вершина: x = 1
f(1) = 6
f(−1) = 2, f(2) = 5
Максимум: 6.

Полезно оценить ответ приблизительно: если выражение −(x − 1)² + 6, оно не может быть больше 6, потому что квадрат неотрицателен. Для задач с графиком можно дополнительно прочитать высоту самой верхней точки. А если готовишься к нескольким предметам, сравни подходы в демоверсии ЕГЭ по физике: аккуратная проверка условий нужна везде.

Не спеши округлять промежуточные значения: точный ответ надёжнее.

Что запомнить

Для поиска наибольшего значения функции на отрезке действуй по плану: найди производную, реши f′(x) = 0, оставь только подходящие точки, вычисли значения на концах и в критических точках, затем сравни результаты.

Для линейной функции обычно достаточно проверить концы. Для квадратичной удобно найти вершину, но её положение относительно отрезка обязательно учитывается. Всегда различай координату x₀ и значение f(x₀), записывай скобки при отрицательных числах и не округляй раньше времени.

Короткая схема:
кандидаты → концы отрезка + внутренние критические точки
ответ → самое большое вычисленное значение

Мини-пример: f(x) = −x² + 2x + 3 на [0; 3]. Вершина x = 1, f(1) = 4; на концах получаем 3 и 0, значит максимум равен 4.

Следующий шаг — зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: после практики алгоритм станет привычным.