Задание 7 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 7

Работа с графиками проверяет, понимаешь ли ты связь между формулой и её рисунком. В этом задании встречаются три сюжета: сопоставить несколько графиков с несколькими формулами, найти коэффициент по изображению графика и прочитать свойства функции прямо с рисунка — нули, промежутки возрастания и убывания, наибольшее или наименьшее значение.

Формулы берутся из небольшого набора: линейная, квадратичная, обратная пропорциональность, корень, показательная и логарифмическая функции, синус и косинус. Звучит внушительно, но на практике достаточно узнавать каждую функцию «в лицо» — по форме линии и паре характерных точек. Никакого секретного знания тут нет: словарь из шести образов закрывает почти все варианты.

Графики, которые нужно узнавать в лицо

линейная: y = kx + b — прямая

квадратичная: y = ax² + bx + c — парабола

обратная пропорциональность: y = kx — гипербола

корень: y = √x, показательная: y = aˣ, логарифм: y = logₐ x

У каждой функции есть опознавательные признаки. Прямая задаётся наклоном k и точкой пересечения с осью y — это b. Парабола — ветви: вверх при a > 0 и вниз при a < 0, а вершина сидит в точке x₀ = −b/2a. Гипербола распадается на две ветви: при k > 0 они живут в первой и третьей четвертях, при k < 0 — во второй и четвёртой.

График корня — медленно растущая «горка» вдоль оси y, похожая на половинку лежащей на боку параболы. Показательная функция всегда проходит через точку (0; 1): при a > 1 она быстро уходит вверх, при 0 < a < 1 — прижимается к оси x. Логарифм — её зеркало относительно диагонали и обязательно проходит через точку (1; 0). Синус и косинус узнаются по ровной волне одинаковой высоты. Этого словаря хватает почти для всех вариантов задания.

Как восстановить формулу по графику

1. Определи тип функции по форме линии: прямая, ветви параболы, гипербола, волна.
2. Найди на рисунке две-три удобные точки с целыми координатами — они лежат точно на графике.
3. Подставь их координаты в общий вид формулы и найди неизвестные коэффициенты.
4. Проверь результат ещё одной точкой: подставь её в готовую формулу и убедись, что получилось число с картинки.

Такая подстановка — самая надёжная страховка. Даже если ты сомневаешься между двумя похожими вариантами, просто подставь координаты одной точки графика в обе формулы: лишняя отпадёт сама. На экзамене этот приём экономит и время, и нервы, потому что не требует ничего запоминать — только считать аккуратно.

Пример решения по шагам

Разберём типовой вариант. На рисунке изображена парабола с ветвями вверх; она пересекает ось x в точках 1 и 5, а функция задана формулой f(x) = x² + bx + c. Требуется найти f(7).

1. Ветви вверх, старший коэффициент a = 1 известен — осталось найти b и c.
2. Нули функции — точки 1 и 5, поэтому f(1) = 0 и f(5) = 0.
3. Записываем параболу через её нули: f(x) = (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5, то есть b = −6, c = 5.
4. Отвечаем на вопрос: f(7) = (7 − 1)(7 − 5) = 6 · 2 = 12.

Ответ: 12. Приём с разложением по нулям работает для любой параболы, у которой на рисунке видны точки пересечения с осью x. Если нулей не видно, используй вершину: её абсцисса равна −b/2a, и из этой связи легко выразить недостающий коэффициент. В обоих случаях ход один и тот же — от точек рисунка к уравнениям.

Чтение свойств с графика

Вторая группа вопросов не требует вычислений вообще — только внимательности. Сколько нулей у функции? Где она убывает? Сколько корней имеет уравнение f(x) = 3? Для последнего достаточно провести горизонтальную прямую y = 3 и посчитать точки пересечения с графиком: сколько точек — столько и корней.

Запомни простое соответствие: максимум — это «горка» графика, минимум — «впадина», а промежутки возрастания видны слева направо как подъём. Проверяй себя вопросом: «что происходит с y, когда x растёт?» Такой вопрос надёжнее любых мнемоник и работает на любом рисунке, каким бы страшным он ни казался.

Типичные ошибки и ловушки

1. Перепутать знак коэффициента: ветви параболы вниз означают a < 0, а не a > 0.
2. Принять b за смещение вершины: у параболы вершина в точке −b/2a, а не в b.
3. Игнорировать масштаб клеток: точка (2; 6) — это не то же самое, что (6; 2).
4. Выбрать красивую формулу, не проверив её подстановкой точки с графика.

Ещё одна коварная пара — графики, отличающиеся только сдвигом. Функция y = kx + b с разными b сдвигается по вертикали, а y = k(x − m)² с разными m — по горизонтали. Смотри, куда именно сдвинулся рисунок: вверх-вниз или влево-вправо, — и половина «сложных» вариантов решается сама.

Графики — тема сквозная: они понадобятся и в исследовании функций с производной, и во второй части экзамена. Дальше по подготовке помогут статья про графики функций: как читать и сопоставлять, разбор квадратных уравнений для парабол и общий план подготовки к ЕГЭ.

Главная идея задания 7 простая: не угадывай, а опознавай. Форма линии подсказывает тип функции, точки рисунка дают коэффициенты, а подстановка проверяет ответ. Если нужна помощь с базой, загляни на Просто Урок — там любую тему объяснят спокойно и по шагам.