Оптимизация: как решать задачи на максимум

1. Что такое задача на оптимизацию

Задачи на максимум часто кажутся громоздкими: много текста, переменные, ограничения и непонятно, с чего начать. На деле нужно перевести условие на язык функции, найти допустимые значения и сравнить результаты. В этом материале ты увидишь понятный алгоритм, разберёшь полный пример и научишься замечать типичные ловушки.

Оптимизация отвечает на вопрос: при каком значении переменной величина становится наибольшей или наименьшей. Например, нужно выбрать размеры прямоугольника, чтобы его площадь была максимальной при заданном периметре.

Периметр: 2x + 2y = 20
y = 10 − x
S(x) = x · y = x(10 − x)
0 < x < 10

Сначала вырази одну величину через другую, затем составь функцию. Ограничения обязательны: длины не могут быть отрицательными. Ошибка — найти максимум на всей числовой прямой и забыть проверить смысл ответа.

Для повторения полезно освежить перевод условий в уравнения в статье «Прогрессии в текстовых задачах».

2. Как составить функцию

Разбирай условие по шагам. Сначала обозначь неизвестную величину буквой, затем выпиши связь между величинами и только после этого сформулируй, что именно требуется максимизировать. Если в задаче есть фиксированная сумма, периметр или объём, это ограничение поможет убрать одну переменную.

Пример: из всех прямоугольников с периметром 24 нужно выбрать фигуру наибольшей площади. Пусть одна сторона равна x. Тогда другая сторона равна 12 − x, а площадь выражается одной функцией.

2x + 2y = 24
y = 12 − x
S(x) = x(12 − x) = 12x − x²
0 < x < 12

Квадратичная функция имеет ветви вниз, потому что коэффициент при x² отрицателен. Значит, её вершина даёт максимум. Типичная ошибка — записать y = 24 − x, не разделив периметр на два.

Если хочется потренироваться в личном кабинете, открой бесплатную практику и реши несколько задач с постепенными подсказками.

3. Максимум квадратичной функции

Самый частый случай в задачах 11 класса — функция вида ax² + bx + c. Если a меньше нуля, ветви параболы направлены вниз, поэтому вершина соответствует максимуму. Абсциссу вершины находят по формуле x = −b ÷ (2a), а затем подставляют её в функцию.

Рассмотрим площадь из предыдущего примера: S(x) = 12x − x². Здесь a = −1, b = 12. Координата вершины показывает, какую сторону нужно выбрать.

x = −12 ÷ (2 · (−1)) = 6
y = 12 − 6 = 6
S(6) = 6 · 6 = 36

Получается квадрат со стороной 6 и площадью 36. Ошибка — считать максимумом значение x = 6, хотя вопрос обычно просит площадь, длину или стоимость. Всегда перечитай последнюю строку условия.

Для уверенного повторения соседней экзаменационной темы посмотри материал «Повторение задания 14»: навык аккуратно работать с выражениями пригодится и там.

4. Проверка ограничений и концов

В реальной задаче функция задана не на всей прямой, а на отрезке или промежутке. Поэтому нужно проверить допустимость найденной точки. Если вершина находится внутри промежутка, сравни её значение с концами. Если вершина за пределами, максимум может оказаться на границе.

Например, пусть f(x) = −x² + 8x, но по условию 1 ≤ x ≤ 5. Вершина имеет координату 4, она допустима, поэтому сравниваем значение в вершине и на концах.

Максимум равен 16 при x = 4. Ошибка — ограничиться только подстановкой в формулу вершины, не проверив диапазон. Если x = 4 не удовлетворяет условию, такой ответ нельзя принимать.

В задачах с дробями, корнями и площадями отдельно проверяй область определения: например, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

5. Полностью разобранный пример

Условие: прямоугольный участок площадью 96 м² ограждают с трёх сторон, четвёртая сторона примыкает к стене. Найди минимальную длину ограды. Пусть x — ширина участка, перпендикулярная стене, а y — сторона вдоль стены.

xy = 96 → y = 96 ÷ x
L = 2x + y = 2x + 96 ÷ x
L′ = 2 − 96 ÷ x²
2 − 96 ÷ x² = 0 → x² = 48
x = 4√3, y = 96 ÷ (4√3) = 8√3
L = 2 · 4√3 + 8√3 = 16√3 м

Берём только положительный корень, потому что длина не бывает отрицательной. Производная меняет знак с минуса на плюс, значит найдено минимальное значение. Ответ: 16√3 м. Ошибка — оградить четыре стороны и получить другую функцию.

Если производные пока не изучены, аналогичные задачи иногда решают через неравенство или преобразование к квадрату. Главное — правильно составить модель.

6. Что запомнить перед практикой

Алгоритм такой: обозначь неизвестную, выпиши ограничение, вырази одну величину через другую, составь целевую функцию, найди вершину или критические точки, проверь допустимый промежуток и ответь именно на вопрос задачи.

Мини-пример: f(x) = −2x² + 12x + 5. Здесь a = −2, b = 12, поэтому x = 3, а максимум равен f(3) = 23. Если спрашивают значение функции, ответ — 23; если спрашивают аргумент, ответ — 3.

Проверяй единицы измерения, знак коэффициента при квадрате и смысл результата. Самая частая ошибка — механически применять формулу вершины, не читая ограничения.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения сверяй не только число, но и ход рассуждений.