Прогрессии в текстовых задачах

Как узнать прогрессию в условии задачи

В текстовой задаче числа часто прячутся за историями про накопления, места в рядах или ежедневные тренировки, и из-за этого кажется, что нужно составлять длинную систему. Ты научишься быстро находить прогрессию, выбирать нужную формулу и оформлять решение так, чтобы не терять баллы на ОГЭ или ЕГЭ.

Прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член связан с предыдущим одним и тем же правилом. В арифметической прогрессии к числу прибавляют постоянное значение, например 4, 7, 10, 13. В геометрической каждый раз умножают на один и тот же множитель: 2, 6, 18, 54.

Сначала выпиши несколько первых величин из условия. Затем сравни соседние числа: найди разность или проверь отношение. Если разность одинакова, перед тобой арифметическая прогрессия. Если одинаково отношение, это геометрическая прогрессия.

Небольшая бесплатная практика в личном кабинете «Просто Урок» поможет проверить, умеешь ли ты отличать два вида прогрессий: открыть кабинет.

Какие формулы выбрать для арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия задаётся первым членом a₁ и разностью d. Разность может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если задача описывает еженедельное увеличение карманных расходов на 50 рублей, d = 50. Если температура каждый час снижается на 3 °C, d = −3.

Главная формула n-го члена: aₙ = a₁ + d × (n − 1). Важно видеть именно n − 1: от первого члена до пятого нужно сделать четыре шага. Для суммы первых n членов используй Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Если последний член неизвестен, удобно записать Sₙ = n × (2a₁ + d × (n − 1)) ÷ 2.

В текстовой задаче сначала определи, что означает n. Это может быть номер дня, месяца, ступеньки или ряда. Затем переведи вопрос на математический язык: «найти сумму за 10 дней» означает найти S₁₀, а «сколько стало на 10-й день» — a₁₀.

Что дано в условии	Что ищем	Формула
Первый член, разность и номер	n-й член	aₙ = a₁ + d × (n − 1)
Первый и последний члены, число членов	Сумму	Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2

Если нужна дополнительная тренировка формул, в кабинете «Просто Урок» есть бесплатные задания по шагам: перейти к практике.

Как решать задачи на геометрическую прогрессию

Геометрическая прогрессия появляется там, где величина каждый раз изменяется во столько-то раз. Например, число участников проекта удваивается, бактерий становится в 3 раза больше, а цена товара уменьшается до ¾ от предыдущей. Постоянное отношение соседних членов называют знаменателем и обозначают q.

Формула n-го члена: bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов при q ≠ 1 вычисляется так: Sₙ = b₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Можно записать и равную форму: Sₙ = b₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q). Выбирай ту, в которой меньше отрицательных знаков.

Внимательно различай «увеличилось на 20%» и «увеличилось в 20 раз». При росте на 20% новый член равен предыдущему × 1,2. При уменьшении на 20% множитель равен 0,8. Если величина стала в 5 раз меньше, q = ⅕, а не 5.

Пример записи:
\( b_1 = 12, q = 2 \)
\( b_4 = 12 \times 2^4^-^1 = 12 \times 8 = 96 \)

Разобранный пример: накопления по дням

Ученик откладывал деньги семь дней. В первый день он отложил 100 рублей, а каждый следующий день на 50 рублей больше. Сколько рублей он накопил за неделю? Здесь речь идёт о постоянном увеличении, значит, это арифметическая прогрессия. Дано: a₁ = 100, d = 50, n = 7. Требуется сумма S₇.

Сначала найдём сумму одним способом через последний член. Это полезно, потому что формула связывает начало и конец ряда. Седьмой день равен 400 рублям. Теперь складываем среднее значение первого и последнего взноса и умножаем на количество дней.

\( a_7 = 100 + 50 \times (7 - 1) = 100 + 300 = 400 \)
\( S_7 = 7 \times (100 + 400) \div 2 \)
\( S_7 = 7 \times 500 \div 2 = 1750 \)

Ответ: за неделю ученик накопил 1750 рублей. Проверь здравым смыслом: семь взносов лежат между 100 и 400, их среднее примерно 250, а 250 × 7 = 1750. Такая проверка помогает заметить ошибку в знаке или количестве шагов.

Типичные ошибки и проверка решения

Первая ошибка — перепутать член и сумму. Вопрос «сколько изготовили в восьмой день» требует a₈, а вопрос «сколько изготовили за восемь дней» требует S₈. Вторая ошибка — использовать арифметическую формулу там, где величина растёт в несколько раз. Сравни соседние значения до вычислений.

Третья ошибка возникает с процентами. Рост на 10% означает умножение на 1,1, а не прибавление 10 к числу. Четвёртая — неверный первый член: иногда отсчёт начинается не с нулевого, а с первого дня. Если в условии сказано «через 5 минут после старта», это может быть шестой момент наблюдения, если нулевой момент тоже учитывается.

После решения сделай три проверки: единицы измерения, примерный размер ответа и соответствие вопросу. Сумма не может быть меньше самого большого положительного слагаемого. При q ≥ 1 члены геометрической прогрессии не должны неожиданно уменьшаться.

После разбора можно закрепить алгоритм короткой бесплатной серией в личном кабинете «Просто Урок»: решить задания самостоятельно.

Что запомнить перед самостоятельной практикой

Арифметическая прогрессия меняется на одну и ту же величину: aₙ = a₁ + d × (n − 1). Геометрическая изменяется в одно и то же число раз: bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. Для суммы арифметической прогрессии удобно использовать Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2, а для геометрической — Sₙ = b₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1).

Алгоритм решения простой: выпиши последовательность, определи вид прогрессии, подпиши a₁ или b₁, найди d или q, определи n, выбери формулу и проверь ответ по смыслу. Особенно внимательно читай слова «на», «в» и «за» — они меняют математическую модель.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы увидеть, где именно появляются ошибки: начать практику.