Площадь криволинейной трапеции через интеграл: задачи с решениями

Что такое криволинейная трапеция

Если график функции, ось Ox и две вертикальные прямые образуют фигуру, её площадь часто кажется сложной для подсчёта. На экзамене важно не угадывать формулу, а видеть границы и правильно записывать интеграл. В этом разборе ты научишься находить площадь криволинейной трапеции пошагово и проверять ответ.

Пусть функция непрерывна на отрезке [a; b] и не опускается ниже оси Ox. Тогда площадь фигуры под графиком вычисляется так: S = ∫ от a до b f(x) dx. Числа a и b определяют вертикальные границы, а f(x) задаёт верхнюю границу.

y = x²
a = 0, b = 2
S = ∫ от 0 до 2 x² dx = x³ ÷ 3 | от 0 до 2 = 8 ÷ 3

Ответ: 8 ÷ 3 квадратных единицы. Типичная ошибка — взять координаты вершины графика вместо пределов интегрирования. Всегда сначала найди именно точки пересечения с вертикальными границами.

Алгоритм вычисления площади

Решение удобно проводить по четырём шагам. Сначала нарисуй эскиз и определи, какая функция расположена выше. Затем найди пределы интегрирования: это могут быть заданные числа или абсциссы точек пересечения графиков. После этого составь интеграл и вычисли первообразную.

Если область расположена между графиками y = f(x) и y = g(x), причём f(x) ≥ g(x), используется разность: S = ∫ от a до b (f(x) − g(x)) dx. Такой подход похож на вычисление длины промежутка: границы нужно определить аккуратно. Повторить решение систем уравнений можно в материале «Методы решения систем».

y = 2x, y = x²
2x = x² → x = 0 или x = 2
S = ∫ от 0 до 2 (2x − x²) dx

На отрезке [0; 2] прямая находится выше параболы. Типичная ошибка — записать x² − 2x и получить отрицательный результат. Площадь не бывает отрицательной, поэтому проверь положение графиков.

Разобранный пример с решением

Рассмотрим площадь фигуры, ограниченной графиками y = x² и y = 4, а также прямыми x = 0 и x = 2. Здесь верхняя граница постоянна: это горизонтальная прямая y = 4. Нижняя граница — парабола. Значит, из верхней функции вычитаем нижнюю.

S = ∫ от 0 до 2 (4 − x²) dx
S = (4x − x³ ÷ 3) | от 0 до 2
S = (8 − 8 ÷ 3) − 0
S = 16 ÷ 3

Площадь равна 16 ÷ 3 квадратных единицы. Почему пределы именно 0 и 2? Они указаны вертикальными прямыми, а точка x = 2 дополнительно соответствует пересечению параболы с линией y = 4. Перед ответом полезно проверить знак: на всём отрезке 4 − x² ≥ 0.

Типичная ошибка — интегрировать только 4 или только x². Площадь между кривыми требует разности функций, а не площади под одной из них.

Когда график пересекает ось Ox

Если функция меняет знак, обычный определённый интеграл может дать не площадь, а алгебраическую сумму. Поэтому сначала найди нули функции и раздели отрезок на части. На участках выше оси площадь берётся со знаком плюс, ниже оси — с противоположным знаком, то есть значение интеграла меняют на положительное.

f(x) = x − 1, от 0 до 2
Нуль: x = 1
S = −∫ от 0 до 1 (x − 1) dx + ∫ от 1 до 2 (x − 1) dx
S = ½ + ½ = 1

Типичная ошибка — оставить один интеграл и получить ноль: положительная и отрицательная части взаимно уничтожатся.

Типичные ошибки и проверка ответа

Самая частая проблема — неверные пределы. Если границы не даны, реши уравнение пересечения графиков. Для двух функций приравняй их формулы, а затем проверь найденные корни на рисунке. Вторая ошибка — перепутать верхнюю и нижнюю кривые. Возьми тестовую точку внутри отрезка и сравни значения.

Третья ошибка связана с первообразной: при интегрировании xⁿ появляется множитель 1 ÷ (n + 1), а степень увеличивается на единицу. Не забывай подставлять сначала верхний предел, затем нижний.

Проверка для S = ∫ от 1 до 3 (x + 2) dx
F(x) = x² ÷ 2 + 2x
S = (9 ÷ 2 + 6) − (1 ÷ 2 + 2) = 8

Ответ положительный, а примерная ширина 2 и высота около 4 дают площадь около 8. Типичная ошибка — написать 7 из-за неверного вычитания значений первообразной.

Для самостоятельной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решать задания с постепенной проверкой.

Что запомнить

Площадь под графиком на отрезке [a; b] находится интегралом функции, если она не меняет знак. Площадь между двумя графиками — интеграл разности «верхняя функция минус нижняя». Перед вычислением всегда определи границы, построй эскиз и проверь знак выражения.

Под графиком: S = ∫ от a до b f(x) dx
Между графиками: S = ∫ от a до b (f(x) − g(x)) dx
При смене знака: разбить отрезок по нулям

Например, для y = 3x и y = x² сначала решают 3x = x², получают точки x = 0 и x = 3, а затем используют разность 3x − x². Ошибка — пропустить рисунок и выбрать неверный порядок функций.

Закрепи тему: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Дополнительные вычислительные навыки пригодятся и при работе с делителями и кратными: смотри материал «Как находить НОД и НОК».