Просто УрокСистемы линейных уравнений: методы решения
Одно уравнение — одна неизвестная, но в задачах про скорость, цены и работу их обычно две. Тогда приходят системы: две прямые и одна точка пересечения. Разбираем подстановку и сложение по шагам и случай, когда у системы нет ответа.
Что такое система уравнений
Система уравнений — это несколько уравнений, которые выполняются одновременно; их записывают друг под другом с фигурной скобкой. Решение системы с двумя неизвестными — не одно число, а пара (x; y), подходящая каждому уравнению сразу.
Возьмём систему: x + y = 7 и x − y = 3. Пара (5; 2) — решение: 5 + 2 = 7 и 5 − 2 = 3. Любая другая пара ломает хотя бы одно уравнение, поэтому решать нужно оба уравнения вместе.
Оба уравнения линейные: неизвестные входят в первой степени. Если ты умеешь решать линейные уравнения, системы покорятся легко — это те же преобразования в два хода.
Метод подстановки
Метод подстановки сводит систему к одному уравнению с одной неизвестной: выражаем переменную из одного уравнения и подставляем во второе.
Разберём по шагам систему: x + y = 7 и 2x − y = 5.
- Из первого уравнения выражаем y: y = 7 − x.
- Подставляем это выражение во второе уравнение вместо y: 2x − (7 − x) = 5.
- Раскрываем скобки и приводим подобные: 2x − 7 + x = 5, значит 3x = 12, откуда x = 4.
- Подставляем найденный x в выражение из первого шага: y = 7 − 4 = 3.
- Ответ: (4; 3).
\( y = 7 - x \to 2x - (7 - x) = 5 \to x = 4; y = 3 \)
Проверка: 4 + 3 = 7 и 2 · 4 − 3 = 5. Сошлось — пара верна.
Минус перед скобкой — главный виновник ошибок в подстановке. Запись 2x − (7 − x) раскрывается как 2x − 7 + x: знак меняется у каждого слагаемого, а не только у первого.
Метод сложения
Метод сложения устроен иначе: уравнения складывают так, чтобы одна переменная исчезла. Для этого коэффициенты при ней делают противоположными — при необходимости уравнение умножают на подходящее число.
Решим систему: 3x + 2y = 12 и 5x − 2y = 4.
- Смотрим на коэффициенты при y: +2 и −2 — уже противоположные, умножать ничего не нужно.
- Складываем оба уравнения: 3x + 5x + 2y − 2y = 12 + 4, то есть 8x = 16.
- Находим x: x = 2.
- Подставляем в первое уравнение: 3 · 2 + 2y = 12, откуда 2y = 6 и y = 3.
- Ответ: (2; 3).
\( 8x = 16 \to x = 2 \to y = 3 \)
Проверка: 5 · 2 − 2 · 3 = 10 − 6 = 4. Сошлось.
Как выбрать метод? Подстановка — когда переменная уже выражена или её коэффициент равен единице. Сложение — когда коэффициенты противоположны или легко ими становятся. Ответ одинаков: бери путь с меньшим числом вычислений.
Потренируй системы уравнений
В тренажёре ОГЭ выбери задания с системами, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Графический смысл системы
У систем есть наглядная картинка: каждое линейное уравнение с двумя переменными — прямая на координатной плоскости. Система из двух уравнений — это две прямые, а её решение — точка пересечения: только она лежит на обоих графиках сразу.
Отсюда три варианта: прямые пересекаются — одно решение, параллельны — решений нет, совпадают — решений бесконечно много. Полезно работать с картинкой в обе стороны: строить график по уравнению и узнавать уравнение по графику — этому учит статья про графики функций.
Когда решений нет или их бесконечно много
Разберём систему без решений: x + y = 2 и x + y = 5. Левая часть одна и та же, но одна сумма равна двум, а другая — пяти. Никакая пара чисел не даёт обе суммы сразу — противоречие. Решений нет, а на графике это две параллельные прямые.
Обратная ситуация: второе уравнение — первое, умноженное на одно число: 2x + 3y = 6 и 4x + 6y = 12. Прямые совпадают, и решением служит любая точка прямой. Если коэффициенты при x и y пропорциональны, правая часть подскажет, параллельны прямые или совпадают.
Ответ системы — всегда пара чисел, даже если она «странная»: с дробью или отрицательная. Записывай её в виде (x; y) и проверяй в оба уравнения — одно несовпадение сразу укажет на ошибку.
Системы постоянно прячутся в текстовых задачах: в задачах на совместную работу, движении и ценах два условия превращают в два уравнения — дальше работает подстановка или сложение.
Подстановка, сложение и точка пересечения прямых — вся теория систем. Выбирай метод под коэффициенты, записывай ответ парой и не пропускай проверку. А если хочется разобрать тему на своих примерах, рядом всегда есть Просто Урок, где объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Что такое решение системы уравнений?
Пара чисел (x; y), которая одновременно обращает оба уравнения в верные равенства. Одна и та же пара должна подходить каждому уравнению системы.
Какой метод выбрать: подстановку или сложение?
Подстановку — когда переменная уже выражена или её коэффициент равен единице, сложение — когда коэффициенты противоположны или легко сделать таковыми умножением. Ответ одинаков, выбирай путь с меньшим числом вычислений.
Что означает пересечение прямых на графике системы?
Каждое линейное уравнение с двумя переменными изображается прямой. Точка пересечения двух прямых — единственная пара (x; y), подходящая обоим уравнениям сразу.
Когда система не имеет решений?
Когда коэффициенты при x и y одинаковы или пропорциональны, а правые части этому соответствию не следуют: например, x + y = 2 и x + y = 5. Графически это параллельные прямые, у которых нет общей точки.