Площадь криволинейной трапеции через интеграл

Что такое криволинейная трапеция

Если обычные формулы площади уже не помогают, а график функции ограничивает фигуру сверху или снизу, выручает определённый интеграл. Здесь ты научишься находить площадь криволинейной трапеции, понимать границы интегрирования и проверять ответ без лишней путаницы. Такой подход особенно полезен в заданиях с графиками и первообразными. Для повторения базовых приёмов посмотри материал о задании 16 ЕГЭ.

Криволинейной трапецией называют область между графиком непрерывной функции y = f(x), осью Ox и вертикальными прямыми x = a и x = b. Если график находится выше оси Ox, площадь равна интегралу функции на отрезке.

S = ∫ от a до b f(x) dx
a ≤ x ≤ b
f(x) ≥ 0

Например, для y = x² на отрезке от 0 до 2 область лежит над осью, поэтому S = ∫ от 0 до 2 x² dx. Типичная ошибка — взять границы по значениям y или забыть проверить, где именно находится график.

Как составить формулу площади

Решение удобно разбить на шаги. Сначала определи функцию и нарисуй схематичный график. Затем найди точки пересечения с осью Ox: они помогут выбрать пределы. После этого проверь знак функции на нужном отрезке, запиши интеграл и вычисли первообразную. Если область ограничена двумя графиками, сначала нужно определить, какая функция выше.

f(x) ≥ g(x) → S = ∫ от a до b (f(x) − g(x)) dx
f(x) ≤ g(x) → S = ∫ от a до b (g(x) − f(x)) dx

Например, для y = 3 − x на отрезке [0; 3] функция неотрицательна, значит S = ∫ от 0 до 3 (3 − x) dx. Ошибка — записать x − 3 и получить отрицательный результат.

Разобранный пример полностью

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 1 и x = 3. На всём отрезке [1; 3] значения x² положительны, поэтому модуль функции не нужен. Первообразная для x² — x³ ÷ 3. Подставляем верхний и нижний пределы и аккуратно выполняем вычитание.

S = ∫ от 1 до 3 x² dx
S = x³ ÷ 3 | от 1 до 3
S = 3³ ÷ 3 − 1³ ÷ 3
S = 27 ÷ 3 − 1 ÷ 3 = 26 ÷ 3 = 8⅔

Ответ 8⅔ квадратной единицы. Проверка по рисунку: на ширине 2 график поднимается от 1 до 9, поэтому площадь действительно может быть больше 2, но заметно меньше площади прямоугольника 2 × 9 = 18.

Если задана функция y = 4 − x² на отрезке [−2; 2], она касается оси Ox на концах и положительна внутри. Нельзя подставлять отрицательный график без проверки знака. Частая ошибка — потерять скобки при вычислении значения первообразной.

После разбора полезно сразу потренироваться в личном кабинете с бесплатными заданиями, чтобы закрепить порядок действий.

Если график пересекает ось Ox

Когда функция меняет знак, один определённый интеграл может дать не площадь, а алгебраическую сумму площадей. Положительные участки считаются со знаком плюс, отрицательные — со знаком минус. Для геометрической площади каждый участок нужно брать отдельно или использовать модуль.

S = ∫ от a до c f(x) dx + ∫ от c до b (−f(x)) dx
f(c) = 0
S = ∫ от a до b |f(x)| dx

Рассмотрим y = x на отрезке [−2; 2]. График ниже оси слева и выше справа. Поэтому площадь состоит из двух равных треугольников: S = 2 × (2 × 2 ÷ 2) = 4.

Интеграл без разделения дал бы ∫ от −2 до 2 x dx = 0, потому что площади взаимно уничтожаются. Это не означает, что фигура не имеет площади. Перед записью решения найди нули функции и отметь их на числовой прямой.

Ещё одна типичная ошибка — поставить модуль только перед результатом интеграла. Если интеграл равен −3, модуль даст 3, но при нескольких сменах знака этого недостаточно: участки могут взаимно компенсироваться по-разному.

Типичные ошибки и проверка ответа

Площадь всегда неотрицательна, поэтому отрицательный итог — сигнал для проверки. Сначала посмотри на график, затем сравни порядок величины с простым прямоугольником. Если функция на отрезке примерно от 2 до 5, а ширина равна 3, площадь должна быть примерно между 6 и 15, если график выше оси.

F′(x) = f(x)
∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a)
S ≥ 0

Например, при y = 2x + 1 на отрезке [0; 2] первообразная равна x² + x, а площадь равна (4 + 2) − 0 = 6. Ошибка — взять значение функции в правой точке, 5, и назвать его площадью.

Потренироваться на похожих графиках можно в бесплатной практике после регистрации: решай, а затем сверяй не только ответ, но и каждый шаг.

Что запомнить

Криволинейная трапеция обычно ограничена графиком, осью Ox и вертикальными прямыми. Если функция выше оси, площадь равна определённому интегралу. Если ниже, меняем знак. Если график пересекает ось, разбиваем область по точкам пересечения. Между двумя графиками интегрируем разность верхней и нижней функций.

1. Найди границы
2. Проверь знак функции
3. Запиши интеграл
4. Найди первообразную
5. Проверь смысл ответа

Например, для y = 5 − x на [0; 5] площадь равна ∫ от 0 до 5 (5 − x) dx = 25 ÷ 2. На рисунке это прямоугольный треугольник с основанием и высотой 5, что подтверждает результат.

Не забывай единицы площади и скобки при подстановке. Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, чтобы закрепить алгоритм на разных графиках.