Задание 16 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что за задание 16

Здесь проверяют планиметрию без вычислений площадей: просят найти угол треугольника или параллелограмма, угол между касательной и хордой, сравнить элементы фигуры. Условие короткое, рисунок обычно уже дан. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, знак градуса в бланк не пишут. Вся нужная теория есть в справочных материалах, но их стоит знать заранее.

Сумма углов треугольника

База всех баз: три угла треугольника вместе дают развёрнутый угол.

\( ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \)

Два следствия. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. А у прямоугольного треугольника один угол уже равен 90°, поэтому два острых в сумме дают ровно 90° — частая подсказка на экзамене.

1. Пример: два угла треугольника равны 47° и 58°.
2. Сумма известных: 47 + 58 = 105.
3. Третий угол: 180 − 105 = 75. Ответ: 75.

Смежные, вертикальные и параллельные

Когда прямые пересекаются, работают два правила: смежные углы вместе дают 180°, вертикальные углы равны.

смежные: α + β = 180°

Если две прямые пересечены секущей, появляются равные пары: накрест лежащие и соответственные углы. В задаче с рисунком достаточно заметить такую пару — и угол найден без вычислений.

Углы параллелограмма и четырёхугольника

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают развёрнутый угол.

соседние углы параллелограмма: α + β = 180°

1. Пример: один угол параллелограмма равен 70°.
2. Соседний: 180 − 70 = 110. Противоположный — тоже 70.
3. Ответ: 110 (если спрашивают больший).

Для любого выпуклого четырёхугольника сумма всех углов равна 360° — это спасает в задачах про трапеции и произвольные фигуры.

Вписанные углы и касательные

Половина «окружных» задач базы решается одним правилом: вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

вписанный угол = 12 · центральный угол

1. Пример: центральный угол равен 84°.
2. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу: 84 / 2 = 42.
3. Ответ: 42.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а отрезки касательных из одной точки равны. Полезно помнить и связь хорд с дугами: равные хорды стягивают равные дуги, а больший центральный угол соответствует большей хорде. Из «соотношений» чаще всего спрашивают медиану прямоугольного треугольника: проведённая к гипотенузе, она равна её половине.

Типичные ошибки

• Перепутать вписанный и центральный угол: у вписанного вершина на окружности, у центрального — в центре.
• Считать касательную наклонной к радиусу: угол между ними всегда прямой.
• Забыть, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Найти один угол, когда просят другой: читай вопрос — больший, меньший или разность.

Ответ в градусах записывается просто числом — единицы измерения в бланк не вносятся.

Если окружности и касательные вызывают вопросы, разберись с ними по отдельности: поможет статья про окружность и касательные, а про свойства фигур подробнее написано в материале про треугольники.

Геометрия в базовом ЕГЭ — это два задания: задание 15 про площади и это, про углы. Закрой оба — и добавь себе спокойные баллы. Системный маршрут на весь экзамен лежит в статье про подготовку к ЕГЭ с нуля, а поддержка всегда ждёт на Просто Урок.