Шпаргалка: все формулы школьной математики

1. Тождества, дроби и уравнения

Перед контрольной или экзаменом легко растеряться: формул много, а времени на повторение мало. Эта шпаргалка поможет быстро восстановить ключевые правила 11 класса, понять, когда применять каждое выражение, и проверить себя на типичных ошибках.

Главные тождества: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b). Для дробей сначала находи общий знаменатель, а при делении умножай первую дробь на обратную.

Пример:
2x + 5 = 17
2x = 12
x = 6
Проверка: 2 · 6 + 5 = 17

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 дискриминант D = b² − 4ac, а корни: x₁ = (−b + √D) ÷ 2a и x₂ = (−b − √D) ÷ 2a. Если D меньше нуля, действительных корней нет.

Типичная ошибка — потерять знак при раскрытии скобок или забыть, что знаменатель не может быть равен нулю. Полезно прорешать несколько коротких примеров в бесплатной практике в личном кабинете, сразу сверяя ограничения.

2. Степени, корни и логарифмы

Степенная формула упрощает длинные вычисления: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Для одинаковых оснований показатели складываются только при умножении, а не при сложении самих выражений.

Корень связан со степенью: √a² = |a|, потому что квадратный корень всегда неотрицателен. При a ≥ 0 справедливо √ab = √a · √b. Логарифм logₐb — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b; условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Пример:
log₂32 = 5, потому что 2⁵ = 32
log₃(9x) = 2
9x = 3²
x = 1

Основные свойства: logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐ(x ÷ y) = logₐx − logₐy; logₐx = logᵦx ÷ logᵦa.

Ошибка — заменять √a² на a без условия a ≥ 0 или забывать поменять знак неравенства при умножении на отрицательное число.

3. Последовательности и проценты

В арифметической прогрессии каждый следующий член отличается на одно и то же число d: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Сумма первых n членов равна Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 или Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2.

В геометрической прогрессии соседние члены имеют общий множитель q: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов при q ≠ 1: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Для бесконечной убывающей прогрессии S = b₁ ÷ (1 − q), если |q| < 1.

Пример:
a₁ = 4, d = 3, n = 6
a₆ = 4 + 5 · 3 = 19
S₆ = 6(4 + 19) ÷ 2 = 69

Процентное увеличение на p процентов означает умножение на 1 + p ÷ 100, а уменьшение — на 1 − p ÷ 100. Два последовательных изменения складываются не всегда: применяй множители по очереди.

Ошибка — использовать n вместо n − 1 в формуле члена прогрессии. Для тренировки последовательностей можно открыть личный кабинет и решить задания бесплатно, отмечая, какая величина известна.

4. Функции, графики и производная

Линейная функция y = kx + b имеет угловой коэффициент k и пересекает ось y в точке b. Квадратичная функция y = ax² + bx + c направлена вверх при a > 0 и вниз при a < 0. Координата вершины: x₀ = −b ÷ 2a, затем подставь x₀ и найди y₀.

Производная показывает скорость изменения функции. Базовые правила: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; (c)' = 0; (u + v)' = u' + v'; (u·v)' = u'v + uv'. Точка максимума или минимума часто находится среди решений f'(x) = 0.

Пример:
f(x) = x² − 4x + 1
f'(x) = 2x − 4
2x − 4 = 0 → x = 2
f(2) = 4 − 8 + 1 = −3
Вершина: (2; −3)

Для возрастания исследуй знак производной: f'(x) > 0 — функция растёт, f'(x) < 0 — убывает. Ошибка — назвать любую точку, где производная ноль, максимумом: обязательно проверь знаки слева и справа.

Если графики пока путаются, разбери похожие задания в материале о задачах 15 ОГЭ: навык чтения условий пригодится и в старших классах.

5. Тригонометрия, геометрия и вероятность

Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Также tg α = sin α ÷ cos α, ctg α = cos α ÷ sin α. Формулы сложения: sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ; cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

В прямоугольном треугольнике sin угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а cos — прилежащего катета к гипотенузе. Теорема Пифагора: c² = a² + b². Площадь треугольника S = ah ÷ 2, круга S = πR², длина окружности L = 2πR.

Пример:
Катеты 6 и 8
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = 10
S = 6 · 8 ÷ 2 = 24

Вероятность равновозможного события: P(A) = m ÷ n, где m — число подходящих исходов, n — общее число исходов. Ошибка — путать радиус с диаметром и считать независимыми события без основания.

6. Что запомнить перед проверкой

Сначала определи тип задачи: уравнение, функция, прогрессия, геометрия или вероятность. Затем выпиши известные данные и только после этого выбирай формулу. Такой порядок снижает риск подставить числа не на свои места.

Мини-таблица для повторения:

Пример алгоритма:
3x² − 12 = 0
x² = 4
x = −2 или x = 2
Проверка: оба значения подходят

Не забывай про ОДЗ, единицы измерения, знак ответа и проверку подстановкой. Типичная ошибка — механически помнить формулу, но не понимать ограничения. Для системного закрепления посмотри план подготовки к ОГЭ за месяц, затем зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете.