Задание 15 ОГЭ по математике: как решать

Что проверяет задание 15

В первой части ОГЭ по математике за геометрию отвечают задания 15–19, и задание 15 открывает этот блок. Ответ — одно число: целое или конечная десятичная дробь. Корень или бесконечная дробь в ответе означают, что по ходу вычислений закралась ошибка. Калькулятором пользоваться нельзя, а точный список тем сверь с демоверсией ФИПИ текущего года.

Формулировки бывают разными, но опираются на четыре правила: сумма углов, свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника, теорема Пифагора и подобие. Пройдёмся по каждому.

Сумма углов треугольника

Главный факт всей геометрии треугольника: три его угла вместе дают развёрнутый угол. Знаешь два угла — третий находится одним вычитанием.

\( ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \)

1. Пример: два угла треугольника равны 58° и 72°. Найди третий.
2. Складываем известные углы: 58° + 72° = 130°.
3. Вычитаем из 180°: 180° − 130° = 50°.
4. Ответ: 50.

Похожее правило есть у внешнего угла: он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Внешний угол 110° сразу говорит, что два дальних угла вместе дают 110°.

Равнобедренный и прямоугольный треугольники

В равнобедренном треугольнике две стороны равны, и углы при основании тоже равны. Правило работает в обе стороны: видишь равные боковые стороны — смело считай углы при основании одинаковыми.

1. Пример: в равнобедренном треугольнике угол при вершине напротив основания равен 110°. Найди угол при основании.
2. На два равных угла осталось: 180° − 110° = 70°.
3. Делим пополам: 70° / 2 = 35°.
4. Ответ: 35.

Обрати внимание: 110° лежит именно при вершине, а не при основании — два угла по 110° не поместились бы в треугольник, уже 220°.

В прямоугольном треугольнике добавляется правило про угол 30°: катет, лежащий напротив него, равен половине гипотенузы. Если гипотенуза равна 14, этот катет равен 7.

катет против 30° = гипотенуза / 2

Теорема Пифагора

Связь сторон прямоугольного треугольника — самая известная теорема школьной геометрии: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

1. Пример: катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найди гипотенузу.
2. Возводим катеты в квадрат: 8² = 64, 15² = 225.
3. Складываем: 64 + 225 = 289.
4. Извлекаем корень: √289 = 17.
5. Ответ: 17.

Теорема работает и в обратную сторону. Гипотенуза 25, один катет 7: 25² − 7² = 625 − 49 = 576, значит второй катет равен 24.

Выучи пифагоровы тройки — 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25. Увидел катеты 6 и 8 — сразу пиши гипотенузу 10 без вычислений.

Подобие и средняя линия

Треугольники подобны, если углы одного равны углам другого, а стороны пропорциональны. Множитель k называется коэффициентом подобия: стороны увеличиваются в k раз, площади — в k² раз.

стороны ×k, площади ×k²

1. Пример: треугольники подобны, коэффициент равен 3, стороны меньшего — 4, 5 и 6. Найди большую сторону большего.
2. Каждая сторона умножается на 3: 4 → 12, 5 → 15, 6 → 18.
3. Большая сторона: 18.
4. Ответ: 18.

Сюда же относится средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: средняя линия 6 означает сторону 12.

средняя линия = сторона / 2

Типичные ошибки

Половина потерянных баллов здесь — не пробелы в теории, а невнимательность. Чаще всего ошибаются так:

• Складывают два угла и забывают вычесть сумму из 180°.
• Применяют теорему Пифагора не к тем сторонам: суммируются квадраты катетов, а не гипотенузы с катетом.
• Увеличивают площади подобных фигур в k раз, хотя в k² раз.
• Путают угол при вершине и углы при основании равнобедренного треугольника.

Этих правил достаточно почти для любой формулировки задания 15. Для полной картины повтори теорию треугольников и формулы площадей, а затем разбери задание 16 про окружность — логика решения там точно такая же.

Геометрия награждает спокойствие: чертёж, правило, вычисления — и балл твой. А если нужен помощник, который объяснит тему по шагам, он есть на Просто Урок.